Фо́рмула Герона — формула для вычисления площади треугольника по длинам его сторон : ,
где — полупериметр треугольника: .
Формула содержится в «Метрике» Герона Александрийского (I век н. э.) и названа в его честь (хотя она была известна ещё Архимеду). Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых тоже являются целыми, такие треугольники носят название героновых, простейшим героновым треугольником является египетский треугольник.
Вариации и обобщения Выразив полупериметр через полусумму всех сторон данного треугольника, можно получить три эквивалентные формулы Герона:
Формулу Герона можно записать с помощью определителя в видеWeisstein, Eric W. Heron’s Formula. From MathWorld--A Wolfram Web Resource.:
Первый определитель последней формулы является частным случаем определителя Кэли — Менгера для вычисления гиперобъёма симплекса.
Ряд формул для площади треугольника сходен по структуре формуле Герона, но выражается через другие параметры треугольника. Например, через длины медиан , и и их полусумму Benyi, Arpad, "A Heron-type formula for the triangle, « ''Mathematical Gazette» 87, July 2003, 324—326.: ; через длины высот , и и полусумму их обратных величин Mitchell, Douglas W., "A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle, " Mathematical Gazette 89, November 2005, 494.: ; через углы треугольника , и , полусумму их синусов и диаметр описанной окружности Mitchell, Douglas W., "A Heron-type area formula in terms of sines, " Mathematical Gazette 93, March 2009, 108—109.:
Площадь вписанного в окружность четырёхугольника вычисляется по формуле Брахмагупты: , где — полупериметр четырёхугольника; в данном случае треугольник оказывается предельным случаем вписанного четырёхугольника при устремлении длины одной из сторон к нулю. Та же формула Брахмагупты через определительСтариков В. Н. Заметки по геометрии// Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки: сборник научных трудов. Выпуск 1/ Гл ред. Романова И .В Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. С. 37-39:
Для тетраэдров верна формула Герона — Тартальи, которая обобщена также на случай других многогранников (изгибаемые многогранники): если у тетраэдра длины рёбер равны , то для его объёма верно выражение: .
Формула Герона — Тартальи может быть выписана для тетраэдра в явном виде: если , , , , , являются длинами рёбер тетраэдра (первые три из них образуют треугольник; и, например, ребро противоположно ребру и так далее), тогда справедливы формулыW. Kahan, «What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages?», , pp. 16-17. Маркелов С. Формула для объёма тетраэдра// Математическое просвещение. Вып. 6. 2002. С. 132 :
где: .
По теореме Люилье площадь сферического треугольника выражается через его стороны как: , где — полупериметр.
Примечания
Литература § 258 в
— доказательство формулы Герона на основе теоремы Пифагора
Категория:Геометрия треугольника Герона Категория:Площадь