В линейной алгебре неравенством Фробе́ниуса называют следующее неравенство для рангов матриц:
В этом неравенстве размерности матриц , и должны позволять существование матрицы (т. е. эти матрицы имеют размерности , и соответственно).
Неравенство названо в честь открывшего его математика Ф. Г. Фробениуса.
Первое доказательство Если и , то .
Запишем это неравенство для :
Ясно также, что .
Второе доказательство
Рассмотрим блочную матрицу
,
применим к матрице цепочку элементарных преобразований, они, как известно, не изменяют ранг матрицы.
Тогда
Примечания
Литература Carl D. Meyer. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra
Фробениуса Ф