Теоре́ма Га́усса — Ванце́ля даёт необходимое и достаточное условие на то, что правильный -угольник возможно построить с помощью циркуля и линейки.

Формулировка Правильный -угольник возможно построить с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда , где и — неотрицательные целые числа, а  — различные простые числа Ферма.

Замечания Это условие также эквивалентно тому, что значение функции Эйлера является степенью числа два. В настоящее время найдены только пять простых чисел Ферма: См. . поэтому (до открытия новых простых Ферма) с помощью циркуля и линейки можно построить правильный многоугольник с максимальным нечётным числом сторон, равным = 4294967295. Правильный -многоугольник может быть построен циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда при наличии на плоскости отрезка длины можно построить отрезок, длина которого равна — косинусу центрального угла данного -многоугольника. Это, в свою очередь, верно тогда и только тогда, когда данный косинус является вещественно построимым числом, то есть может быть выражен при помощи целых чисел, простейших арифметических операций и извлечения квадратного корня.

История Античным геометрам были известны способы построения правильных -угольников для и .

В 1796 году Гаусс показал возможность построения правильных -угольников при , где  — различные простые числа Ферма. (Здесь случай соответствует числу сторон .)

В 1837 году Ванцель доказал, что других правильных многоугольников, которые можно построить циркулем и линейкой, не существует.

Конкретные реализации построения весьма трудоёмки: Построение правильного семнадцатиугольника было непосредственно осуществлено самим Гауссом, но впервые опубликовано К. Ф. фон Пфейдерером в 1802 году. Правильный 257-угольник построил Ф. Ю. Ришело в 1832 году. В библиотеке Гёттингенского университета хранится рукопись, являющаяся итогом десятилетней работы И. Г. Гермеса, которая содержит метод построения правильного 65537-угольника.

Примечания

Ссылки Жак Сезиано История построения правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки от Евклида до Гаусса Семинар по истории математики, 4 мая 2017 года, Санкт-Петербург, ПОМИ.

Категория:Комбинаторная геометрия Категория:Правильные многоугольники Гаусса — Ванцеля Категория:Объекты, названные в честь Карла Фридриха Гаусса