Русские счёты, счёты — простое механическое устройство (счётная доска с костями) для выполнения арифметических расчётов, происходят от китайского счётного приспособления суаньпань.
Представляют собой раму, имеющую некоторое количество спиц; на них нанизаны костяшки, которых обычно по 10 штук. Счёты являются одним из ранних вычислительных устройств и вплоть до конца XX века массово использовались в торговле и бухгалтерском деле, пока их не вытеснили калькуляторы. Применяются для обучения детей дошкольного и школьного возраста арифметике, иногда используются людьми старшего поколения в торговле.
История Николаас Витсен в своё время на основе внешнего сходства с суаньпанем предположил, что счёты пришли из Китая через золотоордынских татар в XIV веке, и даже называет того, кто их впервые ввёл в России — первого из Строгановых. Однако И. Г. Спасский указывает на отличия от суаньпаня, в частности, что в счётах использовалась десятичная система счисления. Он считал, что счёты произошли от прибора «дощаный счёт», который по его предположению возник в Московском государстве в XVI веке.
Первое известное упоминание счётов встречается в «Переписной книге домовой казны патриарха Никона», составленной в 1658 году, где они называются «счоты».
Система счисления и система кодирования В русских счётах применяется позиционная десятичная система счисления с непозиционным унарным кодированием внутри каждого разряда.
Каждый ряд костяшек представляет собой числовой разряд, который вверх от спицы с четырьмя костяшками возрастает от единиц до миллионов (с семью рядами целых чисел), а вниз — уменьшается от десятых до тысячных. Максимальное значение для каждого ряда — десять, умноженное на вес разряда (для разряда единиц максимальное значение — 10, если все костяшки отложены влево, для десятков — 100 и так далее). «Набор» числа осуществляется сдвиганием костяшек из правого края спицы в левый.
Ряд, на котором находятся только 4 костяшки, использовался для счёта в полушках, которые чеканились до 1916 года. Две полушки равнялись одной деньге, которая в свою очередь была равна половине копейки, то есть четыре костяшки-полушки составляли одну копейку. Также этот ряд использовался для перевода фунтов в пуды (1 пуд = 40 фунтов). В последующем этот ряд стал служить исключительно разделителем целой и дробной частей набранного на счётах числа и в вычислениях не использовался.
Таким образом, максимальное число, которое можно набрать на счётах с семью рядами целых чисел, составляет .
При добавлении к девяти костяшкам ещё одной (десятой), производится операция записи единицы переноса в следующий разряд, состоящая из трёх действий: сдвигом влево одной костяшки к девяти костяшкам добавляется десятая; сдвигом вправо всех десяти костяшек разряд обнуляется; сдвигом влево одной костяшки в следующий разряд записывается единица переноса. Выполнением этого правила исключается любое неоднозначное представление чисел. С точки зрения теории систем счисления, для действий в показательной единично кодированной десятичной позиционной системе счисления достаточно девяти костяшек, о чём пишет и Я. И. Перельман, при этом операция записи единицы переноса производилась бы за два действия вместо трёх действий: сдвигом влево одной костяшки в следующий разряд записывается единица переноса; сдвигом вправо девяти костяшек предыдущий разряд обнуляется. Но для удобства счёта (в частности, при вычитании) лучше иметь на спице 10 костяшек.
Правила счёта
Общие замечания С помощью счётов, в пределах их разрядности, можно выполнять все базовые арифметические операции: сложение, вычитание, умножение, деление. Однако на практике удобно и быстро можно только складывать и вычитать: операция умножения на произвольное число достаточно сложна, а деление в общем виде, скорее всего, займёт больше времени, чем выполнение той же операции на бумаге — с помощью «деления столбиком». Впрочем, есть специальные случаи, когда счёты вполне применимы для умножения и деления.
Кроме того, нужно учитывать следующие моменты: Счёты в принципе не предназначены для манипуляций с отрицательными числами. Поэтому любые операции должны приводиться к положительным числам, а знак, если это необходимо, должен просто учитываться отдельно. В операциях умножения и деления неудобно учитывать положение десятичного разделителя для обоих операндов. Вследствие этого при выполнении умножения и деления десятичных дробей либо только второй, либо оба операнда приводятся к целому числу, то есть десятичный разделитель в них просто игнорируется. После выполнения операции положение десятичного разделителя восстанавливается вручную.
«Набор» числа Представление чисел на счётах и порядок набора описан выше. Правило расположения разрядов числа на проволоках (то есть помещение единичного разряда непременно перед проволокой с четырьмя косточками) в практических расчётах часто бывает необязательно соблюдать. Более того, в процессе расчётов бывает удобно иногда вместо перенабора числа просто мысленно перенести разделитель целой и дробной части на другое место.
В некоторых руководствах по вычислениям на счётах рекомендуется следующее «усовершенствование»: просверлить в раме счётов слева ряд небольших отверстий, расположенных напротив промежутков между проволоками. При расчётах какой-либо предмет — например, гвоздь или разогнутая скрепка — помещается в отверстие, находящееся напротив промежутка, в данный момент разделяющего единицы и десятые доли. Таким образом в любой момент положение десятичного разделителя явно отмечено и может быть легко изменено.
Сложение Согласно одному из возможных способов, сложение на счётах выполняется «снизу вверх» (от младших разрядов к старшим). На счётах «набирается» первое слагаемое, после чего поразрядно, от младшего разряда к старшему, производятся следующие действия: На проволоке, соответствующей разряду, перебрасывается влево столько косточек, сколько единиц в соответствующем разряде второго слагаемого. Если на проволоке не хватает косточек для выполнения первого действия, то на проволоке слева оставляется столько косточек, сколько не хватило, а на следующей (находящейся выше) проволоке перебрасывается влево одна косточка. Если в результате действия (как первого, так и второго, и данного) слева на проволоке оказалось 10 косточек, то все косточки на этой проволоке перебрасываются вправо, а на следующей (находящейся выше) проволоке дополнительно перебрасывается влево одна косточка. После того, как будут выполнены действия со всеми разрядами, «набранное» на счётах число и будет результатом сложения.
Есть и другой способ: сложение от старших разрядов к младшим — см. анимацию.
Вычитание Вычитание на счётах выполняется «сверху вниз», то есть от старших разрядов к младшим. В силу неприспособленности счётов для работы с отрицательными числами всегда нужно из большего положительного числа вычитать меньшее положительное число. Если требуется вычесть из меньшего большее, числа следует поменять местами и оставить знак «в уме».
На счётах «набирается» уменьшаемое, после чего поразрядно, от старшего разряда к младшему, производятся следующие действия: На проволоке, соответствующей разряду, перебрасывается вправо столько косточек, сколько единиц в соответствующем разряде вычитаемого. Если на проволоке не хватает косточек для выполнения первого действия, производится перенос разряда: слева оставляется (10 − n) косточек, где n — «недостающее» число косточек (чтобы не делать второе вычитание в уме, можно весь десяток косточек на данной проволоке перенести влево, после чего отбросить недостающее число косточек), а на находящейся выше проволоке отбрасывается вправо одна косточка Если при переносе на проволоке, соответствующей старшему разряду, не хватает косточек, то выполняется перенос в следующий (ещё более старший) разряд и так до тех пор, пока на одной из проволок не окажется достаточного количества косточек. Так, например, при вычитании (1001 − 3) сначала на проволоке младшего разряда будет оставлено 8 косточек и потребуется перенос во второй разряд, затем — в третий, и только после этого на проволоке четвёртого разряда окажется достаточно косточек, чтобы завершить операцию.
Умножение Умножение на однозначное число в общем случае может быть заменено на сложение множимого с самим собой соответствующее количество раз. Целые многозначные числа перемножаются поразрядно, аналогично «умножению в столбик»:
В качестве множимого выбирается то из двух чисел, которое содержит больше ненулевых цифр. Множимое прибавляется к самому себе столько раз, сколько единиц в младшем (первом) разряде множителя. Для каждого следующего разряда множителя множимое прибавляется к уже имеющемуся на счётах числу соответствующее количество раз, но со сдвигом на один разряд вверх. То есть для разряда десятков сложение производится со сдвигом на один разряд, сотен — на два и так далее. Если в соответствующем разряде множителя стоит нуль, то, естественно, никакого сложения не производится, а просто делается сдвиг на одну проволоку вверх и переход к следующему разряду. Когда будут произведены прибавления для всех ненулевых разрядов множителя, на счётах будет получен результат умножения. Положение десятичного разделителя при этом нужно учитывать в той позиции, где он был при первых сложениях (то есть сдвиги десятичного разделителя учитываются только в промежуточных операциях).
Если перемножаются нецелые числа, то операция выполняется точно так же (вычисления ведутся с целыми числами, десятичные разделители просто игнорируются). Десятичный разделитель ставится в нужную позицию вручную при записи результата.
Несмотря на громоздкость алгоритма, при выработанном навыке выигрыш времени по сравнению с расчётом на бумаге может быть значительным.
Деление Деление в общем виде заменяется вычитанием. Общий алгоритм деления целых чисел выглядит следующим образом: Делимое набирается на счётах в нижней их части. Из старших разрядов делимого выбирается группа такого размера, чтобы составленное ею число было больше делителя, но меньше делителя, умноженного на десять. Десятичный разделитель мысленно переносится за младший разряд этой группы. Из набранного числа (с учётом поставленного разделителя) делитель вычитается до тех пор, пока уменьшаемое не станет меньше делителя. При каждом успешном вычитании на верхней проволоке счёт переносится влево одна косточка. По завершении вычитания десятичный разделитель мысленно передвигается на одну проволоку вниз. Далее вычитание делителя повторяется для нового уменьшаемого, а результат заносится на следующую (вторую, далее — третью и т. д.) проволоку. Предыдущий пункт повторяется до тех пор, пока не закончится набранное на счётах число, либо пока не будет получено нужное число цифр результата. На верхних проволоках по завершении всех операций будет набран результат деления. Положение десятичного разделителя при этом — такое же, как было у делимого.
Если делимое кратно делителю, то операция завершится по достижении младшего десятичного разряда делимого и все косточки, кроме тех, на которых накоплен результат, будут справа. Если же нет, то на счётах останется число, соответствующее остатку от деления. Если необходимо, далее можно получать десятичные знаки дробного результата до тех пор, пока хватает проволок на счётах (когда сдвигать десятичный разделитель вниз станет некуда, можно искусственно перенести накопившийся остаток выше, чтобы продолжить деление; так можно получить до 7-8 цифр результата).
Например, вычисляем 715/31: Набираем на счётах 715 в нижней части (над проволокой с четырьмя костяшками). Из первых разрядов выделяем число, большее 31 и меньшее 310 — это два разряда, 71. Мысленно помещаем десятичный разделитель после единицы. Вычитаем 31 из 71. Это можно сделать два раза. На верхней проволоке счёт отбрасываем влево две костяшки. В остатке остаётся 9. Осталось 9, что меньше 31. Мысленно сдвигаем десятичный разделитель на одну проволоку вниз. Следующее уменьшаемое — 95.