Лемма Морса — утверждение, описывающее поведение гладкой или аналитической вещественной функции в окрестности невырожденной критической точки. Один из простых, но важнейших результатов теории Морса; названа по имени разработчика теории и установившего данный результат в 1925 году американского математика Марстона Морса.
Формулировка Пусть — функция класса , где — целое число или , имеющая точку своей невырожденной критической точкой, то есть в этой точке дифференциал обращается в нуль, а гессиан отличен от нуля. Тогда в некоторой окрестности точки существует такая система -гладких локальных координат (карта) с началом в точке , что для всех имеет место равенствоАрнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений. .
Определение. Число , определяемое сигнатурой квадратичной части ростка в точке , называется индексом критической точки данной функции — частный случай общего понятия индекс Морса.
Замечание. В приведенной выше формулировке можно понизить гладкость функции . Именно, то же утверждение останется вернымХирш М. Дифференциальная топология. Мир, 1979, стр. 196., если вместо потребовать .
Вариации и обобщения
Теорема Тужрона В окрестности критической точки конечной кратности существует система координат, в которой гладкая функция имеет вид многочлена степени (в качестве можно взять многочлен Тейлора функции в точке в исходных координатах). В случае невырожденной критической точки кратность , и теорема Тужрона превращается в лемму МорсаСамойленко А. М. Об эквивалентности гладкой функции полиному Тэйлора в окрестности критической точки конечного типа, — Функц. анализ и его прил., 2:4 (1968), стр. 63-69..
Лемма Морса с параметрами Пусть — гладкая функция, имеющая начало координат своей критической точкой, невырожденной по переменным . Тогда в окрестности точки существуют гладкие координаты, в которых
где — некоторая гладкая функция. Это утверждение позволяет свести исследование особенности (критической точки) функции от переменных к исследованию особенности функции от меньшего числа переменных (а именно, от числа переменных, равного корангу гессиана исходной функции).
Доказательство этого утверждения может быть проведено индукцией по n с использованием леммы Адамара или другим способом.
О доказательствах
Обычно доказывается прямым построением диффеоморфизма. Более концептуальное доказательство использует трюк МозераPalais, Richard S. "The Morse lemma for Banach spaces." Bulletin of the American Mathematical Society 75.5 (1969): 968-971..
Примечания
Литература
Даринский Б. М., Сапронов Ю. И., Царёв С. Л. Бифуркация экстремалей фредгольмовых функционалов, — СМФН, 12, М., 2004, стр. 3-140.
Takens F. A note on sufficiency of jets. — Inventiones Mathematicae, vol. 13, no 3, 1971, pp. 225—231.
Морса Категория:Теория Морса Категория:Теория катастроф М