Идемпоте́нтность (от — тот же самый и — сильный, буквально — равносильность) — свойство объекта или операции при повторном применении операции к объекту давать тот же результат, что и при первом. Термин введён Бенджамином Пирсом в статьях 1870-х годов.
Идемпотентная унарная операция — операция, для которой выполняется тождество , то есть при композиции с собой даёт себя же: . Примеры идемпотентных унарных операций: сложение с нулём: ; умножение на единицу: ; модуль числа: ; возведение в степень единицы: ; сложение по модулю 2 с нулём: .
Идемпотентная бинарная операция — операция, относительно которой всякий элемент обладает идемпотентностью: , примеры таких операций — конъюнкция: и дизъюнкция . Кроме того, для бинарных операций говорят об идемпотентности в смысле неизменности результата при повторном применения операции с любым из аргументов, таковы, например: выбор максимального значения: ; вычисление наибольшего общего делителя: .
Из линейных операторов в идемпотентны только тождественный оператор, нулевой оператор и параллельная проекция. Поэтому проектор в алгебре — в том числе в бесконечномерных пространствах — определяется как .
Идемпотентность — базовое свойство бинарной операции в полурешётке и обеих бинарных операций в решётке. Идемпотентный анализ — альтернативное наименование тропической геометрии, основными структурами в которой являются и полукольца — аддитивно идемпотентные полукольца расширенной числовой прямой, в которых сложение определено как взятие минимума или максимума соответственно, а умножение — как обычное сложение вещественных чисел.
Идемпотент Идемпотентный элемент (идемпотент) в общей алгебре — элемент полугруппы, сохраняющийся при умножении самого на себя: . Теорема об идемпотенте гласит: во всякой конечной полугруппе есть идемпотент.
Идемпотентный элемент содержит идемпотентный элемент (обозначается ), если . Отношение является отношением частичного порядка в множестве идемпотентных элементов и называется естественным частичным порядком на множестве .
Два идемпотентных элемента ассоциативного кольца (которое будет полугруппой по умножению) и называются ортогональными, если . Идемпотентная матрица — матрица , для которой выполнено , — идемпотент в кольце матриц.
В информатике Идемпотентная операция в информатике — действие, многократное повторение которого эквивалентно однократному.
Примером такой операции могут служить GET-запросы в протоколе HTTP. По спецификации, сервер должен возвращать идентичные ответы на идентичные GET-запросы (при условии, что ресурс не изменился). Это позволяет корректно кэшировать эти ответы, снижая нагрузку на сеть.
Для препроцессора языка Си директива «» является идемпотентной, если в заголовочном файле есть защита от двойного включения.
Свойство идемпотентности операций играет важную роль в конфигурационном управлении: инструментарий в нём строится таким образом, чтобы получать идемпотентные сценарии, которые можно применять неоднократно, получая один и тот же, повторяемый результат.
Литература
Peirce B. Linear Associative Algebra. 1870.
Категория:Математические отношения Категория:Общая алгебра Категория:Свойства операций