Группа Коксетера — группа, порождённая отражениями в гранях -мерного многогранника, у которого каждый двугранный угол составляет целую часть от (то есть равен для некоторого целого ). Такие многогранники называются многогранниками Коксетера. Группы Коксетера определяются для многогранников в евклидовом пространстве, на сфере, а также в пространстве Лобачевского.
Примеры
Конечным группам Коксетера изоморфны, в частности, группы Вейля простых алгебр Ли. Многогранники Коксетера в евклидовом пространстве размерности : -мерный куб произвольной размерности. -мерный симплекс, образованный точками с координатами такими, что . Многогранники Коксетера в единичной сфере размерности : правильный -мерный симплекс со стороной . Многогранники Коксетера в пространствах Лобачевского: Правильный -многоугольник с углом . Правильный прямоугольный додекаэдр в размерности . Правильный прямоугольный стодвадцатиячейник в размерности .
Свойства
Группы Коксетера описываются и классифицируются с помощью диаграмм Коксетера — Дынкина. Многогранник Коксетера является фундаментальной областью действия группы Коксетера. В частности, многогранник Коксетера замощает пространство. В частности, любая евклидова группа Коксетера является примером точечной группы. Теорема Винберга.Э. Б. Винберг, Гиперболические группы отражений УМН, 40:1(241) (1985), 29–66 В пространствах Лобачевского всех достаточно больших размерностей ограниченных многогранников Коксетера не существует. Сферические многогранники Коксетера являются симплексами. Многогранники Коксетера являются простыми. Обозначим через отражения в гранях многогранника, и пусть есть двугранный угол между гранями и . Положим , если грани не образуют двугранного угла в многограннике, и . Тогда группу Коксетера можно задать следующим образом:
Вариации и обобщения
Группами Коксетера также называется обобщение класса групп, описанного выше, определяемое с помощью задания: , где и при .
См. также Группа комплексных отражений Число Коксетера
Примечания
Литература
Категория:Теория групп Категория:Многогранники