Диле́мма заключённого (, реже употребляется название «дилемма банди́та») — фундаментальная проблема в теории игр, согласно которой рациональные игроки не всегда будут сотрудничать друг с другом, даже если это в их интересах. Предполагается, что игрок («заключённый») максимизирует свой собственный выигрыш, не заботясь о выгоде других.
Суть проблемы была сформулирована и в 1950 году. Название дилемме дал математик Альберт Такер.
В дилемме заключённого предательство строго доминирует над сотрудничеством, поэтому единственное возможное равновесие — предательство обоих участников. Проще говоря, каким бы ни было поведение другого игрока, каждый выиграет больше, если предаст. Поскольку в любой ситуации предать выгоднее, чем сотрудничать, все рациональные игроки выберут предательство.
Ведя себя по отдельности рационально, вместе участники приходят к нерациональному решению: если оба предадут, они получат в сумме меньший выигрыш, чем если бы сотрудничали (единственное равновесие в этой игре не ведёт к Парето-оптимальному решению). В этом и заключается дилемма.
В повторяющейся дилемме заключённого игра происходит периодически, и каждый игрок может «наказать» другого за несотрудничество ранее. В такой игре сотрудничество может стать равновесием, а стимул предать может перевешиваться угрозой наказания (с ростом числа итераций равновесие Нэша стремится к Парето-оптимуму).
Классическая дилемма заключённого Во всех судебных системах кара за бандитизм (совершение преступлений в составе организованной группы) намного жестче, чем за те же преступления, совершённые в одиночку (отсюда название «дилемма бандита»).
Классическая формулировка дилеммы заключённого такова:
Двое преступников — А и Б — попались примерно в одно и то же время на сходных преступлениях. Есть основания полагать, что они действовали по сговору, и полиция, изолировав их друг от друга, предлагает им одну и ту же сделку: если один свидетельствует против другого, а тот хранит молчание, то первый освобождается за помощь следствию, а второй получает максимальный срок лишения свободы (10 лет). Если оба молчат, их деяние проходит по более лёгкой статье, и каждый из них приговаривается к полугоду тюрьмы. Если оба свидетельствуют друг против друга, они получают минимальный срок (по 2 года). Каждый заключённый выбирает, молчать или свидетельствовать против другого. Однако ни один из них не знает точно, что сделает другой. Что произойдёт?
Игру можно представить в виде следующей таблицы:
Дилемма появляется, если предположить, что оба заботятся только о минимизации собственного срока заключения.
Представим рассуждения одного из узников. Если партнёр молчит, то лучше его предать и выйти на свободу (иначе — полгода тюрьмы). Если партнёр свидетельствует, то лучше тоже свидетельствовать против него, чтобы получить 2 года (иначе — 10 лет) тюрьмы. Стратегия «свидетельствовать» строго доминирует над стратегией «молчать». Аналогично другой узник приходит к тому же выводу.
С точки зрения группы (этих двух узников) лучше всего сотрудничать друг с другом, хранить молчание и получить по полгода, так как это уменьшит суммарный срок заключения. Любое другое решение будет менее выгодным. Это очень наглядно демонстрирует, что в игре с ненулевой суммой Парето-оптимум может быть противоположным равновесию Нэша.
Обобщённая форма
Можно раскрыть схему игры далее, абстрагировавшись от подтекста заключённых. Обобщённая форма игры часто используется в экспериментальной экономике. Следующие правила дают типичную реализацию игры:
В игре два игрока и банкир. Каждый игрок держит 2 карты: на одной написано «сотрудничать», на другой — «предать» (это стандартная терминология игры). Каждый игрок кладёт одну карту перед банкиром лицом вниз (то есть никто не знает чужого решения, хотя знание чужого решения не влияет на анализ доминированияПодсказка, что, например, красный игрок собирается играть картой «сотрудничать» не меняет того факта, что «предать» является строго доминирующей стратегией. Если рассматривать только игру, возможность коммуникации не играет какой-либо роли. Однако, если игра играется в реальной жизни, рассуждения, лежащие вне самой игры, могут привести к тому, что сотрудничество произойдёт. Это очень важный момент в выводах игры, что, если нам не нужно принимать во внимание посторонние факторы, одноразовая «дилемма заключённого» не меняется от коммуникации.). Банкир открывает карты и выдаёт выигрыш. Если оба выбрали «сотрудничать», оба получают C. Если один выбрал «предать», другой «сотрудничать» — первый получает D, второй с. Если оба выбрали «предать» — оба получают d. Значения переменных C, D, c, d могут быть любого знака (в примере выше все меньше либо равны 0). Обязательно должно соблюдаться неравенство D > C > d > c, чтобы игра представляла собой «дилемму заключённого». Если игра повторяется, то есть играется больше 1 раза подряд, общий выигрыш от сотрудничества должен быть больше суммарного выигрыша в ситуации, когда один предаёт, а другой — нет, то есть 2C > D + c. Это неравенство говорит о том, что в случае взаимного сотрудничества достигается строгий Парето-оптимум – ситуация, когда любая альтернатива приводит к снижению выигрыша хотя бы для одного игрока.
Эти правила были установлены Дугласом Хофштадтером и образуют каноническое описание типичной дилеммы заключённого.
Альтернативная формулировка Хофштадтер предположил, что люди проще понимают такие задачи, как дилемма заключённого, если они представлены в виде отдельной игры или процесса торговли. Один из примеров — «обмен закрытыми сумками»:
Два человека встречаются и обмениваются закрытыми сумками, понимая, что одна из них содержит деньги, другая — товар. Каждый игрок может уважать сделку и положить в сумку то, о чём договорились, либо обмануть партнёра, дав пустую сумку.
В этой игре обман всегда будет решением с максимальной краткосрочной материальной выгодой.
Примеры из реальной жизни В некоторых телевикторинах подобный принцип применяется для определения победителей раунда или финала. Пример дилеммы демонстрировался в 2012 году в британской телевикторине The Bank Job: в финале каждого сезона двум игрокам, вышедшим в финал, предстояло принять решение о том, как распорядиться выигрышем. По половине от суммарного разыгрываемого джекпота лежало в чемоданах с надписью CASH, в двух других были газетные обрывки с надписью TRASH (у игрока по одному чемодану каждого типа). Каждый игрок должен был взять один из своих чемоданов и отдать другому. Если оба игрока получали чемоданы CASH, то делили выигрыш пополам. Если один отдавал чемодан TRASH, то он забирал весь банк игры. Если оба отдавали TRASH — оба оставались без денег, а выигрыш доставался выбывшим на предыдущих этапах игрокам.
Примеры с заключёнными, карточной игрой и обменом закрытыми сумками могут показаться надуманными, но, на самом деле, есть множество примеров взаимодействия людей и животных, имеющие такую же матрицу выигрышей. Поэтому дилемма заключённого интересна социальным наукам, таким как экономика, политология и социология, а также разделам биологии — этологии и эволюционной биологии. Многие природные процессы были обобщены в модели, в которых живые существа участвуют в бесконечных играх типа дилеммы заключённого. Такая широкая применимость дилеммы придаёт этой игре значительную важность.
В политическом реализме, к примеру, сценарий дилеммы часто используется для иллюстрации проблемы двух государств, вовлечённых в гонку вооружений. Оба государства будут заявлять, что у них есть две возможности: либо увеличить расходы на военные нужды, либо сокращать вооружения. При этом очевидным образом выполняются постулаты дилеммы заключённого (D > C > d > c)Genie Baker. The Harmony of Interests Revisited . // Market Realism: Differentially Risky Currencies and the Gains from Trade under the Liberal Economic Order.: D — «мы вооружились, а противник — нет» — наилучший исход, наибольшая безопасность; C — «никто не вооружился» — следующий по предпочтительности исход; d — «оба вооружились» — плохо, но не катастрофично; c — «мы не вооружились, а противник вооружился» — катастрофический исход.
С точки зрения стороны А, если сторона Б не вооружается, то для А выбор идёт между D и C — лучше вооружаться. Если же Б вооружается, то для А выбор идёт между d и c — опять-таки выгоднее вооружаться. Тем самым, при любом выборе Б, для стороны А выгоднее вооружаться. Ситуация для стороны Б совершенно аналогична, и в итоге обе стороны будут стремиться к военной экспансии.
Уильям Паундстоун, в книге о дилемме заключённого, описывает ситуацию в Новой Зеландии, где газетные ящики оставляют открытыми. Газету можно взять, не заплатив за неё, но мало кто так делает, потому что большинство осознаёт вред, который был бы, если бы все воровали газеты. Поскольку дилемма заключённого в чистом виде одновременна для всех игроков (никто не может повлиять на решения других), эта распространённая линия рассуждений называется «магическое мышление». Будучи объяснением отсутствия мелкого воровства, магическое мышление объясняет добровольное голосование на выборах (когда неголосующий считается зайцем). В качестве альтернативы, это поведение может объясняться ожиданием будущих действий (и не требовать связи с «магическим мышлением»). Моделирование будущих действий требует добавление измерения времени, что делается в повторяющейся дилемме.
Повторяющаяся дилемма заключённого В книге «Эволюция кооперации» 1984 года Роберт Аксельрод исследовал расширение сценария дилеммы, которое он назвал повторяющаяся дилемма заключённого (ПДЗ). В ней участники делают выбор снова раз за разом и помнят предыдущие результаты. Аксельрод пригласил академических коллег со всего мира, чтобы разработать компьютерные стратегии, чтобы соревноваться в чемпионате по ПДЗ. Программы, вошедшие в него, различались по алгоритмической сложности, начальной враждебности, способности к прощению и так далее.
Аксельрод открыл, что если игра повторялась долго среди множества игроков, каждый с разными стратегиями, «жадные» стратегии давали плохие результаты в долгосрочном периоде, тогда как более «альтруистические» стратегии работали лучше, с точки зрения собственного интереса. Он использовал это, чтобы показать возможный механизм эволюции альтруистического поведения из механизмов, которые изначально чисто эгоистические, через естественный отбор.
Лучшей детерминистской стратегией оказалась «Око за око» (), которую разработал и выставил на чемпионат Анатолий Рапопорт. Она была простейшей из всех участвовавших программ, состояла всего из 4 строк кода на языке Бейсик. Стратегия проста: сотрудничать на первой итерации игры, после этого игрок делает то же самое, что делал оппонент на предыдущем шаге. Чуть лучше работает стратегия «Око за око с прощением». Когда оппонент предаёт, на следующем шаге игрок иногда, вне зависимости от предыдущего шага, сотрудничает с небольшой вероятностью (1—5 %). Это позволяет случайным образом выйти из цикла взаимного предательства. Она лучше всего работает, когда в игру вводится недопонимание — когда решение одного игрока сообщается другому с ошибкой.
Анализируя стратегии, набравшие лучшие результаты, Аксельрод назвал несколько условий, необходимых, чтобы стратегия получила высокий результат: Добрая. Важнейшее условие — стратегия должна быть «доброй», то есть не предавать, пока этого не сделает оппонент. Почти все стратегии-лидеры были добрыми. Поэтому чисто эгоистичная стратегия по чисто эгоистическим причинам не будет первой «бить» соперника. Мстительная. Успешная стратегия не должна быть слепым оптимистом. Она должна всегда мстить. Пример прощающей стратегии — всегда сотрудничать. Это очень плохой выбор, поскольку «подлые» стратегии воспользуются этим. Прощающая. Другое важное качество успешных стратегий — уметь прощать. Отомстив, они должны вернуться к сотрудничеству, если оппонент не продолжает предавать. Это предотвращает бесконечное мщение друг другу и максимизирует выигрыш.