Ско́рость (стандартное обозначение: , от ) — векторная физическая величина, характеризующая быстроту перемещения и направление движения материальной точки относительно выбранной системы отсчёта. По определению, равна производной радиус-вектора точки по времени. В СИ измеряется в метрах в секунду.
В русском языке этим же словом называют и скалярную величину — либо модуль вектора скорости, либо алгебраическую скорость точки, то есть проекцию вектора на касательную к траектории точки.
Термин «скорость» используют в науке и в широком смысле, понимая под ним степень резкости изменения какой-либо величины (не обязательно радиус-вектора) в зависимости от другой (; чаще подразумеваются изменения во времени, но также в пространстве и др.). Так, например, говорят об угловой скорости, скорости роста/спада температуры со временем или с координатой, скорости изменения некоего параметра вещества с температурой, скорости химической реакции, групповой скорости волн. Математически «резкость/быстрота изменения» характеризуется производной рассматриваемой величины.
Понятие «скорость» в классической механике
Случай материальной точки
Вектор скорости (мгновенной скорости) материальной точки в каждый момент времени определяется как производная по времени радиус-вектора текущего положения этой точки, так что:
где — единичный вектор касательной, проходящей через текущую точку траектории (он направлен в сторону возрастания дуговой координаты движущейся точки), а — проекция вектора скорости на направление упомянутого единичного вектора, равная производной дуговой координаты по времени и именуемая алгебраической скоростью точки. В соответствии с данными формулами, вектор скорости точки всегда направлен вдоль касательной, а алгебраическая скорость точки может отличаться от модуля этого вектора лишь знаком.
Под дуговой координатой понимается расстояние, измеренное вдоль траектории от выбранного на ней места отсчёта; направление отсчёта (положительное, отрицательное) фиксируется произвольноПолянин А. Д., Полянин В. Д., Попов В. А., Путятин Б. В., Сафрай В. М., Черноуцан А. И. Краткий справочник для инженеров и студентов: Высшая математика. Физика. Теоретическая механика. Сопротивление материалов. — М.: Международная программа образования, 1996. — 432 с. — см. на стр. 404 .. При этом:
если дуговая координата возрастает, то векторы и сонаправлены, а алгебраическая скорость положительна; если дуговая координата убывает, то векторы и противонаправлены, а алгебраическая скорость отрицательна.
Пройденный точкой путь за промежуток времени от до , находится как
.
Когда алгебраическая скорость точки всё время неотрицательна, путь совпадает с приращением дуговой координаты за время от до (если же при этом начало отсчёта дуговой координаты совпадает с начальным положением движущейся точки, то будет просто совпадать с ).
Если алгебраическая скорость точки не меняется с течением времени (или, что то же самое, модуль скорости постоянен), то движение точки называется равномерным (алгебраическое касательное ускорение при этом тождественно равно нулю).
Предположим, что . Тогда при равномерном движении скорость точки (алгебраическая) будет равна отношению пройденного пути к промежутку времени , за который этот путь был пройден:
В общем же случае аналогичные отношения
и
определяют соответственно среднюю скорость точки и её среднюю алгебраическую скорость; если термином «средняя скорость» пользуются, то о величинах и говорят (чтобы избежать путаницы) как о мгновенных скоростях.
Различие между двумя введёнными выше понятиями средней скорости состоит в следующем. Во-первых, — вектор, а — скаляр. Во-вторых, эти величины могут не совпадать по модулю. Так, пусть точка движется по винтовой линии и за время своего движения проходит один виток; тогда модуль средней скорости этой точки будет равен отношению шага винтовой линии (то есть расстояния между её витками) ко времени движения, а модуль средней алгебраической скорости — отношению длины витка ко времени движения.
Случай тела конечных размеров
Для тела протяжённых размеров понятие «скорости» (тела как такового, а не одной из его точек) не может быть определено; исключение составляет случай мгновенно-поступательного движения. Говорят, что абсолютно твёрдое тело совершает мгновенно-поступательное движение, если в данный момент времени скорости всех составляющих его точек равны; тогда можно, разумеется, положить скорость тела равной скорости любой из его точек. Так, например, равны скорости всех точек кабинки колеса обозрения (если, конечно, пренебречь колебаниями кабинки).
В общем же случае скорости точек, образующих твёрдое тело, не равны между собой. Так, например, для катящегося без проскальзывания колеса модули скоростей точек на ободе относительно дороги принимают значения от нуля (в точке касания с дорогой) до удвоенного значения скорости центра колеса (в точке, диаметрально противоположной точке касания). Распределение скоростей точек абсолютно твёрдого тела описывается кинематической формулой Эйлера.
Начальная скорость
Начальная скорость () — это скорость материальной точки в момент, принимаемый за нуль по шкале времени (то есть при )См. Всегда ли начальная скорость равна нулю? в справочнике «Студворк»..
Истолкование как скорости, с которой тело начинает движение, не вполне корректно, поскольку покоившееся тело в принципе не может начать двигаться с отличной от нуля скоростью. При такой формулировке неявно подразумевается, что в короткий промежуток времени действовала большая по величине сила, на пренебрежимо малом участке разогнавшая тело до скорости к моменту .
Запись скорости в разных системах координат
В декартовых координатах
В прямоугольной декартовой системе координат:
.
При этом , следовательно,
.
Таким образом, компоненты вектора скорости — это скорости изменения соответствующих координат материальной точки:
.
В цилиндрических координатах
В цилиндрических координатах :
носит название поперечной скорости, — радиальной.
В сферических координатах
В сферических координатах :
Для описания плоского движения иногда используются полярные координаты, которые можно рассматривать как частный случай цилиндрических (c const) или сферических (с ).
Физическая и координатная скорости
В аналитической механике вышеприведённые и другие криволинейные координаты играют роль обобщённых координат; изменение положение тела описывается их зависимостью от времени. Производные от координат тела по времени при этом называются координатными скоростями (они могут иметь размерность отличную от м/c). Физической же скоростью является производная радиус-вектора по времени, а её составляющие в каждом случае задаются всем стоящим перед соответствующим ортом выражением.
Некоторые связанные со скоростью понятия
Ряд величин в классической механике выражается через скорость.
Импульс, или количество движения, — это мера механического движения точки, которая определяется как произведение массы точки на её скорость
.
Импульс является векторной величиной, его направление совпадает с направлением скорости. Для замкнутой системы выполняется закон сохранения импульса.
От скорости также зависит кинетическая энергия механической системы. Для абсолютно твёрдого тела полную кинетическую энергию можно записать в виде суммы кинетической энергии поступательного и вращательного движения Физическая энциклопедия Физическая энциклопедия:
,
где — масса тела, — скорость центра масс тела, — момент инерции тела, — угловая скорость тела.
Изменение скорости во времени характеризуется ускорением. Ускорение отражает изменение скорости как по величине (тангенциальное ускорение), так и по направлению (центростремительное ускорение) Физическая энциклопедия:
,
где — радиус кривизны траектории точки.
Преобразования Галилея и Лоренца для скорости
В классической механике Ньютона скорости преобразуются при переходе из одной инерциальной системы отсчёта в другую согласно преобразованиям Галилея. Если скорость тела в системе отсчёта была равна , а скорость системы отсчёта относительно системы отсчёта равна , то скорость тела при переходе в систему отсчёта будет равна
Для скоростей, близких к скорости света, преобразования Галилея становятся несправедливы. При переходе из системы в систему необходимо использовать преобразования Лоренца для скоростей:
в предположении, что скорость направлена вдоль оси системы . В пределе нерелятивистских скоростей преобразования Лоренца сводятся к преобразованиям Галилея.
Скорость в релятивистской механике
Четырёхмерная скорость
Одним из обобщений понятия скорости является четырёхмерная скорость (скорость в релятивистской механике). В специальной теории относительности каждому событию ставится в соответствие точка пространства Минковского, три координаты которого представляют собой декартовы координаты трёхмерного евклидова пространства, а четвёртая ― временну́ю координату , где ― скорость света, ― время события. Компоненты четырёхмерного вектора скорости связаны с проекциями трёхмерного вектора скорости следующим образом:
Четырёхмерный вектор скорости является времениподобным вектором, то есть лежит внутри светового конуса.
Существует также понятие четырёхимпульс, временна́я компонента которого равна (где — энергия). Для четырёхмерного импульса выполняется равенство Физическая энциклопедия:
,
где — четырёхмерная скорость.
Понятие «быстрота»
В релятивистской механике угол между касательной к мировой линии частицы и осью времени в базовой системе отсчёта носит название быстроты (обозначается ). Быстрота выражается формулой
где — ареатангенс, или гиперболический арктангенс. Быстрота стремится к бесконечности когда скорость стремится к скорости света. В отличие от скорости, для которой необходимо пользоваться преобразованиями Лоренца, быстрота аддитивна, то есть
где — быстрота системы отсчёта относительно системы отсчёта .
Некоторые скорости
Космические скорости
Небесная механика изучает поведение тел Солнечной системы и других небесных тел. Движение искусственных космических тел изучается в астродинамике. При этом рассматривается несколько вариантов движения тел, для каждого из которых необходимо придание определённой скорости. Для вывода спутника на круговую орбиту ему необходимо придать первую космическую скорость (например, искусственный спутник Земли); преодолеть гравитационное притяжение позволит вторая космическая скорость (например, объект запущенный с Земли, вышедший за её орбиту, но находящийся в Солнечной системе); третья космическая скорость нужна чтобы покинуть звёздную систему, преодолев притяжение звезды (например, объект запущенный с Земли, вышедший за её орбиту и за пределы Солнечной системы); четвёртая космическая скорость позволит покинуть галактику.
В небесной механике под орбитальной скоростью понимают скорость вращения тела вокруг барицентра системы.
Скорости распространения волн
Скорость звука
Скорость звука — скорость распространения упругих волн в среде, определяется упругостью и плотностью среды. Скорость звука не является постоянной величиной и зависит от температуры (в газах), от направления распространения волны (в монокристаллах). При заданных внешних условиях обычно не зависит от частоты волны и её амплитуды. В тех случаях, когда это не выполняется и скорость звука зависит от частоты, говорят о дисперсии звука. Впервые измерена Уильямом Дерхамом. Как правило, в газах скорость звука меньше, чем в жидкостях, а в жидкостях скорость звука меньше, чем в твёрдых телах, поэтому при сжижении газа скорость звука возрастает.