Бета-функция (интеграл Эйлера I рода) — специальная функция от двух комплексных переменных: , определённая при , .
Изучена Эйлером и Лежандром, название дано Жаком Бине.
Подобно тому как гамма-функция для целых чисел является обобщением факториала, бета-функция является обобщением биномиальных коэффициентов с немного изменёнными параметрами: .
Широко используется для вычисления интегралов, а также в приложениях, в частности, через неё определяется бета-распределение — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Обобщение с переменным верхним пределом — неполная бета-функция; многомерное обобщение — интеграл Сельберга.
Свойства Бета-функция симметрична относительно перестановки переменных: .
Выражение через гамма-функцию: .
Для аргументов с положительной вещественной частью может быть выражена как интеграл от частного: , а также как интеграл от тригонометрических функций: . Выражение через нисходящий факториал ():
Бета-функция удовлетворяет двумерному разностному уравнению: .
Частные производные бета-функции:
где — дигамма-функция.
Неполная бета-функция Неполная бета-функция — обобщение бета-функции, заменяющее интеграл по отрезку на интеграл с переменным верхним пределом: , при неполная бета-функция совпадает с полной.
Регуляризованная неполная бета-функция определяется через полную и неполную бета-функции: , некоторые её свойства: , , , .
Литература
Категория:Гамма-функция и связанные функции Категория:Объекты, названные в честь Леонарда Эйлера