Нильпотентная группа — естественное обобщение понятия абелевой группы.
Нильпотентные группы встречаются в теории Галуа, а также в работах по классификации групп. Они, кроме того, играют заметную роль в классификации групп Ли. Аналогичные понятия определяются для алгебр Ли.
Определение Нильпотентная группа ― группа , обладающая центральным рядом от до конечной длины.
Связанные определения Длина наиболее короткого центрального ряда нильпотентной группы называется её классом (или ступенью) нильпотентности. Все нильпотентные группы класса нильпотентности не больше образуют многообразие, определяемое тождеством
Свободные группы этого многообразия, то есть группы удовлетворяющие только таким соотношениям называются свободными нильпотентными группами.
Свойства В любой нильпотентной группе нижний (а также верхний) центральный ряд обрывается на единичной подгруппе и имеет длину, равную классу нильпотентности группы. Конечные нильпотентные группы исчерпываются прямыми произведениями -групп. В любой нильпотентной группе элементы конечных порядков образуют подгруппу, факторгруппа по которой не имеет кручения. Конечно порожденные нильпотентные группы без кручения исчерпываются группами целочисленных треугольных матриц с единицами на главной диагонали и их подгруппами. Конечно порожденные нильпотентные группы являются полициклическими группами, более того, они имеют центральный ряд с циклическими факторами. Любая конечно порождённая нильпотентная группа без кручения является решёткой в односвязной нильпотентной группе Ли.
См. также Разрешимая группа
Категория:Теория групп Категория:Геометрическая теория групп