Главный идеал — идеал, порождённый одним элементом.
Общепринятых обозначений для главных идеалов нет. Иногда используют обозначения , , для левых, правых и двусторонних главных идеалов элемента кольца соответственно.
Определение Левый идеал кольца называется главным левым идеалом, если он порождён одним элементом . Аналогично определяются главные правые идеалы и главные двусторонние идеалы.
Если — коммутативное кольцо, то эти три понятия эквивалентны. В этом случае идеал, порождённый , обозначают через .
В случае ассоциативного кольца с единицей главные идеалы описываются следующим образом. . . .
Если же — ассоциативное кольцо (вообще говоря без единицы), то . . .
Не все идеалы — главные. Рассмотрим, например, коммутативное кольцо многочленов с комплексными коэффициентами от двух переменных и . Идеал , порождённый многочленами и , (то есть идеал, состоящий из многочленов, у которых свободный член равен нулю) не будет главным. Чтобы доказать это, допустим, что этот идеал порождается некоторым элементом ; тогда на него должны делиться и . Это возможно, только если — ненулевая константа. Но в только одна константа — нуль. Приходим к противоречию.
Связанные определения Кольцо, все идеалы которого — главные, называется кольцом главных идеалов. Целостное кольцо главных идеалов называется также областью главных идеалов. В областях главных идеалов выполняется основная теорема арифметики (любой элемент однозначно разложим на простые множители); доказательство этого факта совпадает с доказательством для случая целых чисел.
Примеры Все евклидовы кольца являются областями главных идеалов; в них для поиска порождающего элемента данного идеала можно использовать алгоритм Евклида. Вообще, у любых двух главных идеалов коммутативного кольца есть наибольший общий делитель в смысле умножения идеалов; благодаря этому в областях главных идеалов можно вычислять (с точностью до умножения на обратимый элемент) НОД элементов и как порождающий элемент идеала .
Литература
Категория:Теория колец