Задача трёх тел — это задача классической механики об определении движения трёх точечных масс из начальных положений с начальными скоростями (или импульсами) в соответствии с законами движения Ньютона и законом всемирного тяготения Ньютона. Она является частным случаем гравитационной задачи тел. В отличие от задачи двух тел, общего решения в замкнутой форме не существует, поскольку результирующая динамическая система проявляет хаотичные свойства для большинства , и обычно требуется использовать численные методы для её приближённого решения. Эту задачу можно сформулировать используя как методы механики Ньютона, так и альтернативно в виде уравнений Лагранжа, уравнений Гамильтона и других. Упрощённые формулировки задачи трёх тел позволяют найти множество периодических решений. Например, «ограниченная задача трёх тел», когда момент импульса системы равен нулю, позволяет использовать регуляризирующий параметр для описания движения. Также практический интерес представляет «круговая ограниченная задача трёх тел», в которой два массивных тела движутся по окружности, а третье — в создаваемом ими потенциале.
В 1912 году финский математик Карл Зундман показал, что существует общее аналитическое решение задачи в виде рядов, однако использование последних практически невозможно.
Исторически сложилось так, что первой конкретной задачей трёх тел, получившей расширенное изучение, была проблема, связанная с взаимным движением Луны, Земли и Солнца. На современном языке задача трёх тел — это любая задача классической или квантовой механики, моделирующая движение трёх частиц в потенциале специального вида: в виде обратного квадрата, линейного, квадратичного, их комбинаций и других.
Математическое описание Математическая постановка задачи трёх тел может быть дана в терминах ньютоновских уравнений движения для радиус-векторов центров масс гравитационно взаимодествующих тел в галилеевской системе координат. Движение с массами описывается совокупностью трёх дифференциальных уравнений второго порядка, где — гравитационная постоянная:
Эту задачу можно также сформулировать эквивалентно в гамильтоновом формализме, и в этом случае она описывается набором из системы 18 дифференциальных уравнений первого порядка, по одному для каждой компоненты координат и импульсов :
Здесь — гамильтониан системы, заданный в виде:
В этом случае представляет полную энергию системы в виде суммы гравитационной и кинетической энергий.
Ограниченная задача трёх тел
Один из частных случаев задачи трёх тел является её вариант, когда масса одного из трёх тел пренебрежимо мала в сравнении с массами двух других. Такая задача получила название «ограниченная задача трёх тел». Этот частный случай задачи трёх тел является типичным в практических астрономических расчётах, например, расчёт движения космического корабля в системе Земля-Луна или движение кометы или планетоида (астероида) в системе Солнце-Юпитер. В приближённом расчёте влияние массы малого тела на два других можно принять равной нулю, таким образом задача сводится к расчёту притяжения малого тела двумя большими и взаимного притяжения этих больших тел.
В этом случае полученную систему можно приближённо проанализировать и описать как задачу движения двух телRestricted Three-Body Problem , Science World.. По отношению к два тела, вращающиеся по одной орбите, неподвижны, а третье тело может также быть неподвижным в точках Лагранжа или двигаться вокруг них, например, по подковообразной орбите. Может оказаться полезным рассмотреть . Обычно считается, что это движение двух тел состоит из круговых орбит вокруг центра масс, и предполагается, что планетоид движется в плоскости, определяемой круговыми орбитами.
Математически ограниченная задача трёх тел формулируется следующим образом. Пусть — массы двух массивных тел с (плоскими) координатами и , и — координаты планетоида. Для простоты выберите такие единицы измерения, чтобы расстояние между двумя массивными телами, а также гравитационная постоянная были равны . Тогда движение планетоида определяется выражением
где В этой форме уравнения движения имеют явную зависимость от времени через координаты . Однако эту временную зависимость можно устранить путём преобразования во вращающуюся систему отсчёта, что упрощает любой последующий анализ.
Если рассматривать ограниченную задачу трёх тел в барицентрической системе координат, можно получить две системы уравнений, одна из которых описывает кеплеровское движение двух массивных тел относительно их центра масс, и вторая — движение малого тела под воздействием двух массивных.
Хотя ограниченная задача трёх тел более простая, чем общая задача трёх тел, её аналитическое решение также представляет трудности из-за невозможности прямого интегрирования её уравнений.
Из ограниченной задачи трёх тел также выделяются: параболическая ограниченная задача трёх тел, в которой второе массивное тело движется по параболе; прямолинейная ограниченная задача трёх тел, когда второе массивное тело движется по прямой, проходящей через центр первого массивного тела.
Решения
Общее решение
Не существует общего решения задачи трёх тел в замкнутой форме, это означает, что не существует общего решения, которое можно выразить с помощью конечного числа стандартных математических операций. При этом движение трёх тел вообще неповторяющееся, за исключением особых случаев.
Однако в 1912 году финский математик Карл Фритиоф Зундман доказал, что существует аналитическое решение задачи трёх тел в виде ряда Пюизё, а именно степенного ряда по степеням Barrow-Green, J. (2010). The dramatic episode of Sundman , Historia Mathematica 37, pp. 164—203.. Этот ряд сходится при всех действительных , кроме начальных условий, соответствующих нулю момента импульса. На практике последнее ограничение несущественно, поскольку начальные условия с нулевым угловым моментом встречаются редко и имеют нулевую меру Лебега.
Важным вопросом при доказательстве этого результата является тот факт, что радиус сходимости этого ряда определяется расстоянием до ближайшей особенности. Поэтому необходимо изучить возможные особенности задач трёх тел. Как кратко обсуждается ниже, единственными сингулярностями в задаче трёх тел являются бинарные столкновения (столкновения двух частиц в один момент времени) и тройные столкновения (столкновения трёх частиц в один момент времени).
Столкновения, будь то бинарные или тройные (фактически любое число), несколько маловероятны, поскольку было показано, что они соответствуют набору начальных условий нулевой меры. Однако не известно какого-либо критерия, который можно было бы положить в начальное состояние, чтобы избежать столкновений для соответствующего решения. Итак, стратегия Зундмана состояла из следующих шагов:
Использование соответствующей замены переменных для продолжения анализа решения за пределами бинарного столкновения в процессе, известном как регуляризация. Доказательство того, что тройные столкновения происходят только тогда, когда угловой момент обращается в нуль. Ограничив исходные данные до , он удалил все вещественные особенности из преобразованных уравнений задачи трёх тел. Показывая, что если , то не только не может быть тройного столкновения, но и система строго отделена от тройного столкновения. Отсюда следует, используя теорему существования Коши для дифференциальных уравнений, что в полосе (в зависимости от значения ) в комплексной плоскости с центром вокруг вещественной оси нет комплексных особенностей (оттенки Ковалевской). Найти конформное преобразование, которое отображает эту полосу в единичный круг. Например, если (новая переменная после регуляризации) и если , тогда это отображение даётся формулой
Однако соответствующий ряд сходится очень медленно. То есть для получения значения значимой точности требуется так много членов, что это решение не имеет практического применения. Действительно, в 1930 году Дэвид Белоришки подсчитал, что если бы ряд Зундмана использовался для астрономических наблюдений, то в вычислениях потребовалось бы по меньшей мере 10 членов.
Решения для особых случаев
В 1767 году Леонард Эйлер нашёл три семейства периодических решений, в которых три массы в каждый момент времени коллинеарны. См. .
В 1772 году Лагранж нашёл семейство решений, в которых три массы в каждый момент времени образуют равносторонний треугольник. Вместе с коллинеарными решениями Эйлера эти решения образуют центральные конфигурации задачи трёх тел. Эти решения справедливы для любых соотношений масс, причём массы движутся по кеплеровским эллипсам. Эти четыре семейства — единственные известные решения, для которых существуют явные аналитические формулы. В частном случае круговой ограниченной задачи трёх тел эти решения, рассматриваемые в системе отсчёта, вращающейся вместе с основными элементами, становятся точками, называемыми L1, L2, L3, L4 и L5 и называемыми лагранжевыми точками, где L4 и L5 являются симметричными экземплярами решения Лагранжа.
В работе, обобщённой в 1892—1899 годах, Анри Пуанкаре установил существование бесконечного числа периодических решений ограниченной задачи трёх тел, а также методы продолжения этих решений на общую задачу трёх тел.
В 1893 году Мейсель сформулировал то, что сейчас называется пифагорейской задачей трёх тел: три массы в соотношении 3:4:5 покоятся в вершинах прямоугольного треугольника 3:4:5. Буррау продолжил исследование этой проблемы в 1913 году. В 1967 году Виктор Себехей и К. Фредерик Питерс нашли решение этой задачи, используя численное интегрирование, и в то же время нашли ближайшее периодическое решение.
В 1970-х годах (), () и Дж. Хаджидеметриу () нашли набор решений, которые являются частью одного и того же семейства решений: семейства Брука — Эно — Хаджидеметриу. В этом семействе все три объекта имеют одинаковую массу и могут иметь как ретроградную, так и прямую форму. В некоторых решениях Брука два тела следуют по одному и тому же пути.
В 1993 году физик Крис Мур из Института Санта-Фе численно обнаружил решение с нулевым угловым моментом с тремя равными массами, движущимися вокруг восьмерки. Его формальное существование позже было доказано в 2000 году математиками Аленом Шенсине и Ричардом Монтгомери. Численно показано, что решение устойчиво при небольших возмущениях массы и параметров орбиты, что делает возможным наблюдение таких орбит в физической Вселенной. Однако утверждалось, что это событие маловероятно, поскольку область устойчивости мала. Например, вероятность события бинарно-бинарного рассеяния в результате чего орбита в форме восьмёрки, по оценкам, составляет небольшую долю процента.
В 2013 году сербские учёные Милован Шуваков и Велько Дмитрашинович из Института физики в Белграде обнаружили 13 новых семейств решений задачи трёх тел с равной массой и нулевым угловым моментом.
В 2015 году физик Ана Худомаль обнаружила 14 новых семейств решений задачи трёх тел с равной массой и нулевым угловым моментом.
В 2017 году исследователи Сяомин Ли и обнаружили 669 новых периодических орбит задачи трёх тел с равной массой и нулевым угловым моментом. За этим в 2018 году последовало ещё 1223 новых решения для системы неравных масс с нулевым угловым моментом.
В 2018 году Ли и Ляо сообщили о 234 решениях задачи трёх тел о «свободном падении» с неравной массой. Формулировка задачи трёх тел в свободном падении начинается с того, что все три тела находятся в состоянии покоя. Из-за этого массы в конфигурации свободного падения не вращаются по замкнутому «кольцу», а перемещаются вперёд и назад по открытой «траектории».
В 2023 году Иван Христов, Радослава Христова, Дмитрашинович и Киётака Таникава опубликовали исследование задачи трёх тел «периодические орбиты свободного падения», ограниченное случаем равной массы, в котором они нашли 12 409 различных решений.
Приближённое решение По всей видимости, сам Вейерштрасс, опираясь на свою знаменитую теорему об аппроксимации произвольной функции полиномами, желал получить выражение для координат тел в виде , где — некоторые полиномы.