Фу́нкции Бе́сселя в математике — семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя:
где — произвольное вещественное число (в общем случае комплексное), называемое порядком.
Наиболее часто используемые функции Бесселя — функции целых порядков.
Хотя и порождают одинаковые уравнения ввиду чётности , обычно договариваются о том, что им соответствуют разные функции (это делается, например, для того, чтобы функция Бесселя была гладкой при изменении ).
Функции Бесселя впервые были определены швейцарским математиком Даниилом Бернулли, а названы в честь Фридриха Бесселя.
Применения Уравнение Бесселя возникает во время нахождения решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах. Поэтому функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т. п., например:
электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе; теплопроводность в цилиндрических объектах; формы колебания тонкой круглой мембраны; распределение интенсивности света, дифрагированного на круглом отверстии; скорость частиц в цилиндре, заполненном жидкостью и вращающемся вокруг своей оси; волновые функции в сферически симметричном потенциальном ящике.
Функции Бесселя применяются и в решении других задач, например, при обработке сигналов.
Функция Бесселя является обобщением функции синуса. Ее можно трактовать как колебание струны с переменной толщиной, переменным натяжением (или одновременно обоими условиями); колебаниями в среде с переменными свойствами; колебаниями дисковой мембраны и т. д.
Определения Поскольку приведённое уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка, у него должно быть два линейно независимых решения. Однако в зависимости от обстоятельств выбираются разные определения этих решений. Ниже приведены некоторые из них.
Функции Бесселя первого рода Функциями Бесселя первого рода, обозначаемыми , являются решения, конечные в точке при целых или неотрицательных . Выбор конкретной функции и её нормализации определяются её свойствами. Можно определить эти функции с помощью разложения в ряд Тейлора около нуля (или в более общий степенной ряд при нецелых ):
Здесь — это гамма-функция Эйлера, обобщение факториала на нецелые значения. График функции Бесселя похож на синусоиду, колебания которой затухают пропорционально , хотя на самом деле нули функции расположены не периодично (однако расстояние между двумя последовательными нулями стремится к при ).
Ниже приведены графики для :
Если не является целым числом, функции и линейно независимы и, следовательно, являются решениями уравнения. Но если целое, то верно следующее соотношение:
Оно означает, что в этом случае функции линейно зависимы. Тогда вторым решением уравнения станет функция Бесселя второго рода (см. ниже).
Интегралы Бесселя Можно дать другое определение функции Бесселя для целых значений , используя интегральное представление:
Этот подход использовал Бессель, изучив с его помощью некоторые свойства функций. Возможно и другое интегральное представление:
Для нахождения интегрального представления функции Бесселя в случае нецелых необходимо учесть, что имеется разрез вдоль оси абсцисс. Это вызвано тем, что подынтегральное выражение более не является -периодическим. Таким образом, контур интегрирования разбивается на 3 участка: луч от до , где , окружность единичного радиуса и луч от до при . Проделав несложные математические преобразования, можно получить следующее интегральное представление:
При целых это выражение переходит в предыдущую формулу.
Функции Неймана Функции Неймана — решения уравнения Бесселя, бесконечные в точке .
Эта функция связана с соотношением:
где в случае целого берётся предел по , вычисляемый, например, с помощью правила Лопиталя.
Функции Неймана также называются функциями Бесселя второго рода. Линейная комбинация функций Бесселя первого и второго родов являет собой полное решение уравнения Бесселя:
Ниже приведён график для :
В ряде книг функции Неймана обозначаются . Они были введены Г. М. Вебером ( 1873 г. ) и названы в честь Карла Неймана.
Сферические функции Бесселя
При решении уравнения Гельмгольца в сферических координатах методом разделения переменных уравнение на радиальную часть имеет вид
Два линейно-независимых решения называются сферическими функциями Бесселя и , и связаны с обычными функциями Бесселя и Неймана с помощьюAbramowitz and Stegun, p. 437, 10.1.1 .
также обозначается или ; некоторые авторы называют эти функции сферическими функциями Неймана.
Сферические функции Бесселя также могут быть записаны как (формула Релея)Abramowitz and Stegun, p. 439, 10.1.25, 10.1.26 .
Несколько первых сферических функций БесселяAbramowitz and Stegun, p. 438, 10.1.11 .:
и НейманаAbramowitz and Stegun, p. 438, 10.1.12 .:
Производящие функции Производящие функции сферических функций БесселяAbramowitz and Stegun, p. 439, 10.1.39 .:
Дифференциальные соотношения В следующих формулах может быть заменено на , , , , где и — сферические функции Ханкеля, для Abramowitz and Stegun, p. 439, 10.1.23, 10.1.24 .:
Свойства
Ортогональность Пусть — нули функции Бесселя . Тогда:
.
Асимптотика Для функций Бесселя первого и второго рода известны асимптотические формулы. При малых аргументах и неотрицательных они выглядят так:
,
где — постоянная Эйлера — Маскерони (0,5772…), : — гамма-функция Эйлера.
Для больших аргументов () формулы выглядят так:
Использование следующего члена асимптотического разложения позволяет значительно уточнить результат. Для функции Бесселя нулевого порядка он выглядит следующим образом:
Гипергеометрический ряд Функции Бесселя могут быть выражены через гипергеометрическую функцию:
Таким образом, при целых функция Бесселя однозначная аналитическая, а при нецелых — многозначная аналитическая.
Производящая функция Существует представление для функций Бесселя первого рода и целого порядка через коэффициенты ряда Лорана функции определённого вида, а именно
Соотношения
Формула Якоби — Ангера и связанные с ней Получается из выражения для производящей функции при , :
При , :
Рекуррентные соотношения Для функций Бесселя существует ряд рекуррентных соотношений. Приведём здесь некоторые из них:
В. С. Гаврилов и др. Функции Бесселя в задачах математической физики , стр. 7.
Теорема сложения Для любого целого n и комплексных , выполняется
Интегральные выражения Для любых и (в том числе комплексных) выполняется:
Частным случаем последней формулы является выражение:
См. также Цилиндрические функции Сферические функции Модифицированные функции Бесселя Функции Ганкеля Луч Бесселя Функции Кельвина
Примечания
Литература
Категория:Цилиндрические функции