Нильпотентный элемент

Нильпотентный элемент — элемент кольца, некоторая степень которого обращается в ноль.

Рассмотрение нильпотентных элементов часто оказывается полезным в алгебраической геометрии, так как они позволяют получить чисто алгебраические аналоги ряда понятий, типичных для анализа и дифференциальной геометрии (бесконечно малые деформации и т. п.).

Термин ввёл Бенджамин Пирс в работе по классификации алгебр.

Определение Элемент x кольца R называется нильпотентным, если существует положительное целое число n, такое, что .

Минимальное значение , для которого справедливо это равенство, называется индексом нильпотентности элемента .

Примеры

Это определение может быть применено, в частности, к квадратным матрицам. Матрица

нильпотентна, поскольку . Подробнее в статье Нильпотентная матрица.

В факторкольце Z/9Z класс эквивалентности числа 3 нильпотентен, поскольку 32 сравнимо с 0 по модулю 9. Предположим, что два элемента a и b в кольце R удовлетворяют условию . Тогда элемент нильпотентен, поскольку . Пример для матриц (в качестве a и b):

Здесь .

Кольцо содержит конус нильпотентных элементов.

По определению любой элемент нильпотентен.

Свойства Никакой нильпотентный элемент не может быть обратимым (за исключением тривиального кольца {0}, который имеет единственный элемент ). Все ненулевые нильпотентные элементы являются делителями нуля.

Матрица A размером n-на-n с элементами из поля нильпотентна тогда и только тогда, когда её характеристический многочлен равен .

Если элемент x нильпотентен, то является обратимым элементом, поскольку из следует:

Более общо, сумма обратимого элемента и нильпотентного элемента является обратимым элементом, если они коммутируют.

Коммутативные кольца Нильпотентные элементы коммутативного кольца образуют идеал , что является следствием бинома Ньютона. Этот идеал является нильрадикалом кольца. Любой нильпотентный элемент в коммутативном кольце содержится в любом простом идеале этого кольца, поскольку . Таким образом, содержится в пересечении всех простых идеалов.

Если элемент не нильпотентен, мы можем локализовать с учётом степеней : , чтобы получить ненулевое кольцо . Простые идеалы локализованного кольца соответствуют в точности этим простым идеалам кольца с . Так как любое ненулевое коммутативное кольцо имеет максимальный идеал, который является простым, любой ненильпотентный элемент не содержится в некотором простом идеале. Тогда является в точности пересечением всех простых идеалов.

Характеристика, подобная Радикалу Джекобсона и аннигиляции простых модулей, доступна для нильрадикала — нильпотентные элементы кольца R это в точности те, которые аннигилируют все области целостности внутрь кольца R. Это следует из факта, что нильрадикал является пересечением всех простых идеалов.

Нильпотентные элементы Алгебры Ли Пусть — Алгебра Ли. Тогда элемент называется нильпотентным, если он в и является нильпотентным преобразованием. См. также .

Нильпотентность в физике Операнд Q, удовлетворяющий условию нильпотентен. , которые допускают представление фермионных полей через интегралы по траекториям, являются нильпотентными, поскольку их квадрат обращается в нуль. БРСТ заряд является важным примером в физике.

Линейные операторы образуют ассоциативную алгебру, а тогда и кольцо, это специальный случай первоначального определения. Более обще, принимая во внимание определения выше, оператор Q нильпотентен, если существует , такой, что (нулевая функция). Тогда линейное отображение нильпотентно тогда и только тогда, когда оно имеет нильпотентную матрицу в некотором базисе. Другим примером служит внешняя производная (снова с ). Оба примера связаны через суперсимметрию и теорию Морса как показал Эдвард Виттен в признанной статье.

Электромагнитное поле плоской волны без источников нильпотентно, если выражено в терминах . Более обще, техника микроаддитивности, использует нильпотентные инфинитезимали и является частью гладкого инфинитезимального анализа.

Алгебраические нильпотенты Двухмерные дуальные числа содержат нильпотентное пространство. Другие алгебры и числа, которые содержат нильпотентные пространства, включают (кокватернионы), , бикватернионы и комплексные октанионы .

См. также Идемпотентный элемент Унипотентный элемент

Примечания

Литература

Категория:Теория колец Категория:Ноль