Однородная функция степени — числовая функция такая, что для любого из области определения функции и любого выполняется равенство:
Параметр называется порядком однородности. Подразумевается, что если входит в область определения функции, то все точки вида тоже входят в область определения функции.
Различают также положительно однородные функции, для которых равенство выполняется только для положительных абсолютно однородные функции для которых выполняется равенство ограниченно однородные функции, для которых равенство выполняется только для некоторых выделенных значений комплексные однородные функции для которых равенство справедливо при и или (а также для комплексных показателей ).
Альтернативное определение однородной функции В некоторых математических источниках однородными называются функции, являющиеся решением функционального уравнения с заранее неопределённой функцией и лишь потом доказывается, что Для единственности решения нужно дополнительное условие, что функция не равна тождественно нулю и что функция принадлежит определённому классу функций (например, была непрерывной или была монотонной). Однако, если функция непрерывна хотя бы в одной точке с ненулевым значением функции, то должна быть непрерывной функцией при всех значениях и тем самым для широкого класса функций случай — единственно возможный.
Обоснование:
Функция, тождественно равная нулю, удовлетворяет функциональному уравнению при любом выборе функции однако этот вырожденный случай не представляет особого интереса.
Если же в какой-то точке значение то: , откуда: где
Функциональное уравнение Коши имеет решение в виде линейной функции: причём для класса непрерывных или класса монотонных функций это решение единственное. Поэтому если известно, что непрерывная или монотонная функция, то
Свойства Если — однородные функции одного и того же порядка то их линейная комбинация с постоянными коэффициентами будет однородной функцией того же порядка Если — однородные функции с порядками то их произведение будет однородной функцией с порядком Если — однородная функция порядка то её -ая степень (не обязательно целочисленная), если она имеет смысл (то есть если — целое число, или если значение положительно), будет однородной функцией порядка на соответствующей области определения. В частности, если — однородная функция порядка , то будет однородной функцией порядка и областью определения в точках, где определена и не равна нулю. Если — однородная функция порядка а — однородные функции порядка то суперпозиция функций будет однородной функцией порядка Если — однородная функция переменных степени и гиперплоскость принадлежит её области определения, то функция переменных будет однородной функцией степени Логарифм однородной функции нулевого порядка или логарифм модуля однородной функции нулевого порядка является однородной функцией нулевого порядка. Логарифм однородной функции или логарифм модуля однородной функции является однородной функцией тогда и только тогда, когда порядок однородности самой функции равен нулю. Модуль однородной функции или модуль абсолютно-однородной функции является абсолютно-однородной функцией. Модуль однородной функции или модуль положительно однородной функции является положительно однородной функцией. Модуль однородной функции нулевого порядка является однородной функцией нулевого порядка. Абсолютно-однородная функция нулевого порядка является однородной функцией нулевого порядка, и наоборот. Произвольная функция от однородной функции нулевого порядка является однородной функцией нулевого порядка. Если —— положительно однородные функции порядка где а —— положительно однородная функция порядка то функция будет положительно однородной функцией порядка во всех точках , в которых система уравнений , ..., имеет решение. Если при этом —— нечётное целое число, то положительную однородность можно заменить на обычную однородность. Следствие: если имеется непрерывная или монотонная функция , причём —— однородная или положительно однородная функция, где —— однородная или положительно однородная функция ненулевого порядка, то —— степенная функция во всех точках , в которых уравнение имеет решение. В частности, —— единственная монотонная или непрерывная функция одного переменного, являющаяся однородной функцией порядка . (Доказательство дублирует рассуждения из раздела «Альтернативное определение однородной функции» этой статьи. При этом если снять ограничение, что функция —— непрерывная или же монотонная, то могут иметься и другие, весьма экзотические решения для , см. статью «Базис Гамеля».) Если функция является многочленом от переменных, то она будет однородной функцией степени в том и только в том случае, когда — однородный многочлен степени В частности, в этом случае порядок однородности должен быть натуральным числом или нулём. (Для доказательства надо сгруппировать вместе мономы многочлена с одинаковыми порядками однородности , подставить результат в равенство и использовать тот факт, что степенные функции с разными показателями степени, в том числе и нецелочисленными, являются линейно независимыми.) Утверждение можно обобщить на случай линейных комбинаций мономов вида с нецелочисленными индексами. Если конечное произведение многочленов является однородной функцией, то каждый сомножитель является однородным многочленом. (Для доказательства выберем в каждом сомножителе мономы с минимальным и максимальным порядками однородности . Поскольку после перемножения получившийся многочлен должен состоять из мономов с одним и тем же порядком однородности, то для каждого сомножителя минимальный и максимальный порядок однородности должен быть одним и тем же числом.) Утверждение можно обобщить на случай линейных комбинаций мономов вида с нецелочисленными индексами. Если числитель и знаменатель дробно-рациональной функции являются однородными многочленами, функция будет однородной с порядком однородности, равным разности порядков однородности числителя и знаменателя. Если дробно-рациональная функция является однородной, её числитель и знаменатель с точностью до общего множителя — однородные многочлены. Утверждение можно обобщить на случай дробно-рационального отношения линейных комбинаций мономов вида с нецелочисленными индексами. Однородная функция ненулевой степени в нуле равна нулю, если она там определена: (Получается при подстановке в равенство значения либо, в случае отрицательной степени однородности, значения ) Однородная функция нулевой степени, если она определена в нуле, может принимать в этой точке любое значение. Если однородная функция нулевой степени непрерывна в нуле, то она является константой (произвольной). Если однородная функция отрицательной степени непрерывна в нуле, то она тождественный ноль. (Преобразованием можно любую точку сколь угодно близко приблизить к нулю. Поэтому если функция в нуле непрерывна, то можно выразить значение функции в точке через её значение в точке с помощью соотношения ) Однородная функция положительной степени в нуле стремится к нулю по любому направлению, которое входит в её область определения, а однородная функция отрицательной степени —— к бесконечности, знак которой зависит от направления, если только функция не является тождественным нулём вдоль данного направления. Однородная функция положительной степени непрерывна в нуле или может быть доопределена до непрерывной в нуле, если в её область определения входит -окрестность нуля. Однородная функция нулевой степени может быть как разрывна, так и непрерывна в нуле, и в случае разрывности является константой, зависящей от направления, вдоль каждого луча с вершиной в начале координат, если направление входит в её область определения. (Получается при подстановке в равенство значения ) Если однородная функция в нуле является аналитической (то есть, разлагается в сходящийся ряд Тейлора с ненулевым радиусом сходимости), то она является многочленом (однородным многочленом). В частности, в этом случае порядок однородности должен быть натуральным числом или нулём. (Для доказательства достаточно представить функцию в виде ряда Тейлора, сгруппировать вместе члены ряда Тейлора с одинаковыми порядками однородности , подставить результат в равенство и использовать, что степенные функции с разными показателями степени, в том числе и нецелочисленными, являются линейно независимыми.) Функция , где — функция переменных, является однородной функцией с порядком однородности Функция где — функция переменных, является абсолютно-однородной функцией с порядком однородности Соотношение Эйлера: для дифференцируемых однородных функций скалярное произведение их градиента на вектор своих переменных пропорционально самой функции с коэффициентом, равным порядку однородности: или, в эквивалентной записи, Получается при дифференцировании равенства по при Если — дифференцируемая однородная функция c порядком однородности , то её первые частные производные по каждой из независимых переменных — это однородные функции c порядком однородности . Для доказательства достаточно продифференцировать по правую и левую части тождества и получить тождество Если — однородная функция c порядком однородности , то её интеграл (при условии существования такого интеграла) по любой независимой переменной начиная от нуля — это однородные функции c порядком однородности Доказательство: (здесь сделана замена переменной интегрирования ). Если — однородная функция c порядком однородности , то её дробная производная (дифферинтеграл) порядка , вычисляемая как по любой независимой переменной начиная от нуля (при условии существования соответствующего интеграла, для чего требуется выбирать ) — это однородные функции c порядком однородности Рассмотрим функцию . Тогда (здесь сделана замена переменной интегрирования ). После -кратного дифференцирования по переменной однородная функция порядка становится однородной функцией c порядком однородности . Если — однородная функция c порядком однородности , то её -мерная свёртка с обобщённым Абелевым ядром, вычисляемая как (при условии существования соответствующего интеграла) — это однородная функция c порядком однородности . Доказательство: , где сделана замена переменных интегрирования . (Примечание: возможно выполнение свёртки только по части переменных.)
Теорема. Любая однородная функция с порядком однородности может быть представлена в форме
где — некоторая функция переменных. Любая абсолютно-однородная функция с порядком однородности может быть представлена как
где — некоторая функция переменных.
Следствие. Любая однородная функция степени (абсолютно-однородная функция степени ) может быть представлена в форме
где — некоторая подходящая функция переменных, — фиксированная однородная функция степени (фиксированная абсолютно-однородная функция степени ), а , ..., — фиксированные функционально-независимые однородные функции нулевой степени. При фиксированном выборе функций это представление задаёт взаимно-однозначное соответствие между однородными функциями степени от переменных и функциями от переменных.
Теорема Эйлера для однородных функций. Для того, чтобы дифференцируемая функция была однородной функцией с порядком однородности необходимо и достаточно выполнение соотношения Эйлера
Следствие. Если функция дифференцируема и в каждой точке пространства соотношение однородности справедливо в некотором интервале значений то оно справедливо для всех
Лямбда-однородные функции Пусть задан вектор Функция переменных называется -однородной c порядком однородности , если при любых и любых справедливо тождество
При -однородные функции переходят в обычные однородные функции. Иногда вместо порядка однородности вводят степень однородности , определяемую из соотношения
где Для обычных однородных функций порядок однородности и степень однородности совпадают.