Факториа́л — функция, определённая на множестве неотрицательных целых чисел. Название происходит от — действующий, производящий, умножающий; обозначается , произносится эн факториа́л. Обозначается восклицательным знаком.
Факториал натурального числа определяется как произведение всех натуральных чисел от 1 до включительно: .
Например, .
Для принимается в качестве соглашения, что: .
+ Факториалы всех чисел составляют n n! 0 1 1 1 2 2 3 6 4 24 5 120 6 720 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Факториал активно используется в различных разделах математики: комбинаторике, математическом анализе, теории чисел, функциональном анализе и др.
Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растёт быстрее, чем любая показательная функция или любая степенная функция, а также быстрее, чем любая сумма произведений этих функций. Однако степенно-показательная функция растёт быстрее факториала, так же как и большинство двойных степенных, например .
Свойства
Рекуррентная формула Факториал может быть задан следующей рекуррентной формулой:
Комбинаторная интерпретация В комбинаторике факториал натурального числа интерпретируется как количество перестановок (упорядочиваний) множества из элементов.
Например, для множества {A,B,C,D} из 4-х элементов существует 4! = 24 перестановки: ABCD BACD CABD DABC ABDC BADC CADB DACB ACBD BCAD CBAD DBAC ACDB BCDA CBDA DBCA ADBC BDAC CDAB DCAB ADCB BDCA CDBA DCBA
Комбинаторная интерпретация факториала подтверждает целесообразность соглашения — количество перестановок пустого множества равно единице. Кроме того, формула для числа размещений из элементов по
при обращается в формулу для числа перестановок из элементов (порядка ), которое равно .
Факториал также связан с числами Стирлинга второго рода и биноминальными коэффициентами следующим соотношением:
что при подстановке , с учётом того, что , преобразуется в формулу факториала через количества сочетаний:
Связь с гамма-функцией
Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением .
Это же выражение используют для обобщения понятия факториала на множество вещественных чисел. Используя аналитическое продолжение гамма-функции, область определения факториала также расширяют на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при .
Непосредственным обобщением факториала на множества вещественных и комплексных чисел служит пи-функция , которая при может быть определена как
(интегральное определение).
Пи-функция натурального числа или нуля совпадает с его факториалом: . Как и факториал, пи-функция удовлетворяет рекуррентному соотношению .
Формула Стирлинга
Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала:
см. O-большоеКоэффициенты этого разложения дают последовательности (числители) и (знаменатели).
Во многих случаях для приближённого вычисления факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:
При этом можно утверждать, что
Формула Стирлинга позволяет получить приближённые значения факториалов больших чисел без непосредственного перемножения последовательности натуральных чисел. Например, с помощью формулы Стирлинга легко подсчитать, что:
100! ≈ 9,33×10157 1000! ≈ 4,02×102567 ! ≈ 2,85×10
Разложение на простые множители Каждое простое число входит в разложение на простые множители в степени определяемой следующей формулой:
Таким образом,
где произведение берётся по всем простым числам. Можно заметить, что для всякого простого большего соответствующий множитель в произведении равен 1; следовательно, произведение можно брать лишь по простым , не превосходящим .
Связь с производной от степенной функции Для целого неотрицательного числа :
Например:
Другие свойства Для натурального числа :
Для любого : не является квадратом целого числа;
Для любого : оканчивается на 0;
Для любого : оканчивается на 00.
Если простое число: делится на (теорема Вильсона)
История Факториальные выражения появились ещё в ранних исследованиях по комбинаторике, хотя компактное обозначение предложил французский математик Кристиан Крамп только в 1808 году. Важным этапом стало открытие формулы Стирлинга, которую Джеймс Стирлинг опубликовал в своём трактате «Дифференциальный метод» (, 1730 год). Немного ранее почти такую же формулу опубликовал друг Стирлинга Абрахам де Муавр, но в менее завершённом виде (вместо коэффициента была неопределённая константа): «Стирлинг лишь показал, что арифметическая константа в формуле Муавра равна . Я считаю, что это не делает его автором теоремы».
Стирлинг подробно исследовал свойства факториала, вплоть до выяснения вопроса о том, нельзя ли распространить это понятие на произвольные вещественные числа. Он описал несколько возможных путей к реализации этой идеи и высказал мнение, что:
Стирлинг не знал, что годом ранее решение проблемы уже нашёл Леонард Эйлер. В письме к Кристиану Гольдбаху Эйлер описал требуемое обобщение:
Развивая эту идею, Эйлер в следующем, 1730 году, ввёл понятие гамма-функции в виде классического интеграла. Эти результаты он опубликовал в журнале Петербургской академии наук в 1729—1730 годах.
Обобщения
Двойной факториал
Двойной факториал числа обозначается и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1,], имеющих ту же чётность, что и . Для чётного :
Для нечётного :
Связь между двойными факториалами двух соседних целых неотрицательных чисел и обычным факториалом одного из них.
Формула для чётного :
Выведение формулы:
Пример, иллюстрирующий использованное выше выведение формулы:
Формула для нечётного :
Выведение формулы:
Таким образом можно показать связь между двойными факториалами двух соседних неотрицательных целых чисел через обычный факториал одного из них. Далее продолжим выведение формулы для двойного факториала нечётного . Вернёмся на шаг назад (до возникновения в явном виде ) и осуществим некоторые тождественные алгебраические преобразования над знаменателем:
Подставим полученное выражение для знаменателя обратно в формулу для :
Пример, иллюстрирующий использованное выше выведение формулы:
Осуществив замену для чётного и для нечётного соответственно, где — целое неотрицательное число, получим:
для чётного числа:
для нечётного числа:
По договорённости: . Также это равенство выполняется естественным образом:
Двойной факториал, так же, как и обычный факториал, определён только для целых неотрицательных чисел.
Последовательность значений начинается так: 1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, , , , , , , , , , , , , , , , , , …
Кратный факториал -кратный факториал числа обозначается и определяется следующим образом. Пусть число представимо в виде где Тогда«Энциклопедия для детей» Аванта+. Математика.
Обычный и двойной факториалы являются частными случаями -кратного факториала для и соответственно.
Кратный факториал связан с гамма-функцией следующим соотношениемwolframalpha.com .:
Также кратный факториал возможно записывать в сокращенном виде .
Неполный факториал
Убывающий факториал Убывающим факториалом называется выражение . Например: = 7; = 4, () + 1 = 4, nk = 7 • 6 • 5 • 4 = 840. Убывающий факториал даёт число размещений из по .
Возрастающий факториал
Возрастающим факториалом называется выражение
Праймориал или примориал
Праймориал или примориал () числа обозначается и определяется как произведение первых простых чисел. Например, .
Иногда праймориалом называют число , определяемое как произведение всех простых чисел, не превышающих заданное .
Последовательность праймориалов (включая ) начинается так: , , , , , , , , , , , , , , , …
Фибонориал или фибоначчиал Произведение нескольких первых чисел Фибоначчи. Записывается n!F.
Например, : 6!F = .
Суперфакториал
Нейл Слоан и в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых факториалов. Согласно этому определению, суперфакториал четырёх равен
(поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное).
В общем
Последовательность суперфакториалов чисел начинается так: 1, 1, 2, 12, 288, , , , , , , , , …
Идея была обобщена в 2000 году , что привело к гиперфакториалам (), которые являются произведением первых суперфакториалов. Последовательность гиперфакториалов чисел начинается так:
1, 1, 2, 24, , , , , , , …
Продолжая рекуррентно, можно определить факториал кратного уровня, или -уровневый факториал числа , как произведение ( − 1)-уровневых факториалов чисел от 1 до , то есть
где для и
Гиперфакториал
Гиперфакториал числа n обозначается и определяется как произведение первых чисел вида:
Следуя обычному определению для пустого произведения:
Последовательность гиперфакториала:
1, 1, 4, 108, , , , , ...
Субфакториал
Субфакториал ! определяется как количество беспорядков порядка , то есть перестановок -элементного множества без неподвижных точек.
Комбинаторная интерпретация субфакториала В комбинаторике субфакториал натурального числа интерпретируется как количество не повторяющихся перестановок (упорядочиваний) множества из элементов.
Например, для множества {A,B,C,D} из 4-х элементов существует 4! = 24 перестановки: ABCD BACD CABD DABC ABDC BADC CADB DACB ACBD BCAD CBAD DBAC ACDB BCDA CBDA DBCA ADBC BDAC CDAB DCAB ADCB BDCA CDBA DCBA Из них совпадают с изначальным вариантом ABCD всего 14 перестановок: ABCD ABCD ABCD ABCD
ABDC CBAD BACD BCAD ACBD CBDA BDCA CABD ACDB DBCA DACB ADBC DBAC ADCB Где в первом столбце перестановки в которых совпадает A; во втором столбце перестановки в которых совпадает B; в третьем столбце перестановки в которых совпадает C; в четвертом столбце перестановки в которых совпадает D.
Оставшиеся 9 перестановок и является субфакториалом 4-х BADC BCDA BDAC CADB CDAB CDBA DABC DCAB DCBA Численное доказательство/представление субфакторила 4-х
Последовательность субфакториала:
1, 0, 1, 2, 9, 44, 265, , , , , , , , , , , , , , , ...
См. также
Факторион Двойная экспоненциальная функция
Примечания
Литература
Категория:Целочисленные последовательности Категория:Теория чисел Категория:Комбинаторика