Признак Дирихле — теорема, указывающая достаточные условия сходимости несобственных интегралов и суммируемости бесконечных рядов. Названа в честь немецкого математика Лежёна Дирихле.
Признак Дирихле сходимости несобственных интегралов
Рассмотрим функции и , определённые на промежутке , , и имеющую в точке особенность (первого или второго рода). Пусть выполнены условия: интеграл с верхним переменным пределом определён для всех и ограничен на ; функция монотонна на и . Тогда сходится.
Признак можно сформулировать и для случая, если особенность в точке . Пусть , и определена на . В таком случае условия видоизменяются следующим образом: интеграл с нижним переменным пределом определён для всех и ограничен на ; монотонна на и . Тогда сходится.
Необязательно также, что . Если , то и сходимость равносильна сходимости .
Если интеграл удовлетворяет условиям признака Дирихле, то для его остатка верна следующая оценка:
Здесь – произвольное число из промежутка, а — число, которым ограничен интеграл с верхним переменным пределом. При помощи этой оценки можно приближать значение несобственного интеграла собственным с любой наперёд заданной точностью.
Условие монотонности в признаке Дирихле существенно.
Однако условие монотонности не является необходимым. — сходится. Условие ограниченности первообразной в признаке Дирихле также является существенным, но не является необходимым.
Признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа Определение (ряд Абелева типа) Ряд , где и последовательность — положительна и монотонна (начиная с некоторого места, хотя бы в широком смысле слова), называется рядом Абелева типа.
Теорема (признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа)
Пусть выполнены условия: Последовательность частичных сумм ограничена, то есть . . . Тогда ряд сходится.
Признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа является аналогом признака Дирихле о сходимости несобственного интеграла первого рода. Легко убедиться, что признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов является частным случаем этой теоремы, а именно:
сходимость ряда Лейбница на основании признака Дирихле. Оценка остатка ряда Абелева типаРассмотрим ряд и пусть выполнены условия признака Дирихле. Тогда имеет место оценка: . Доказательство признака Дирихле вытекает из преобразования Абеля.
Признак Дирихле равномерной сходимости несобственного интеграла с параметром
Пусть функция и определёны на множестве , , и допускается, что интеграл для каких-то точек имеет особенность в точке . Пусть выполнены условия: интеграл с верхним переменным пределом определён для всех , и равномерно ограничен на ; функция монотонна по на для каждого конкретного и при . Тогда сходится равномерно.
См. также Признак Абеля
Литература А. К. Боярчук «Функции комплексного переменного: теория и практика» Справочное пособие по высшей математике. Т.4 М.: Едиториал УРСС, 2001. — 352с.
Д Категория:Интегралы