Однородное пространство неформально можно описать, как пространство, в котором все точки одинаковы, то есть существует симметрия пространства, переводящая любую точку в другую. Определение довольно общее и имеет несколько вариантов. Однородное пространство включает в себя пространства классической геометрии, такие как евклидово пространство, пространство Лобачевского, аффинное пространство, проективное пространство и другие.
Определение Однородное пространство — множество X с выделенным транзитивным действием группы G. Элементы X называются точками однородного пространства. Элементы G называются симметриями пространства, а сама группа G называется группой движений, или основной группой, однородного пространства. Подгруппа , фиксирующая элемент , называется стабилизатором . Если множество X наделено дополнительной структурой, например, метрикой, топологией или гладкой структурой, то обычно предполагается, что действие G сохраняет эту структуру. Например, в случае метрики действие предполагается изометрическим. Аналогично, если X является гладким многообразием, то элементы группы являются диффеоморфизмами.
Свойства Все стабилизаторы являются сопряжёнными подгруппами. Однородное пространство с основной группой G можно отождествить с левыми классами смежности стабилизатора H. В этом случае левое действие G на себе порождает действие на пространстве классов смежности G/H.
Примеры Метрические пространства Евклидово пространство с действием группы изометрий; стабилизатором этого действия является группа ортогональных преобразований. Стандартная сфера со следующими действиями: Группы ортогональных преобразований; стабилизатор этого действия изоморфен группе . Группы — специальной ортогональной группы; стабилизатор этого действия изоморфен группе . Пространство Лобачевского с действием группы Лоренца. Грассманиан: .
Другие Аффинное пространство (для аффинной группы, точечный стабилизатор полной линейной группы): . Топологические векторные пространства (в топологическом смысле). Антидеситтеровское пространство: .
Вариации и обобщения Метрическое пространство называется точечно однородным, если изометрического отображения -точечно подмножества в можно продолжить до изометрии Аналогично определяются конечно однородные, счётно однородные, компактно однородные пространства и так далее. Двойное фактор-пространство — фактор группы по подгруппе , действующей на справа и слева. Предоднородные векторные пространства — конечномерное векторное пространство V с действием алгебраической группы G такое, что существует орбита G, открытая в топологии Зарисского (а потому плотная). Примером является группа GL(1), действующая в одномерном пространстве. Идею предоднородных векторных пространств предложил Микио Сато. Подобно однородное пространство — метрическое пространство при условии, когда группа его подобий действует транзитивно на .
См. также Однородность пространства
Литература
Категория:Топологические группы Категория:Теория групп Категория:Группы Ли