В математике, целая часть вещественного числа — округление до ближайшего целого в меньшую сторону. Целая часть числа также называется антье (), или пол (). Наряду с полом существует парная функция — потолок () — округление до ближайшего целого в большую сторону.
Обозначения и примеры
Впервые квадратные скобки () для обозначения целой части числа использовал Гаусс в 1808 году в своём доказательстве закона квадратичной взаимностиLemmermeyer, pp. 10, 23.. Это обозначение считалось стандартнымОбозначение Гаусса использовали Cassels, Hardy & Wright и Ribenboim. Graham, Knuth & Patashnik и Crandall & Pomerance использовали обозначение Айверсона., пока Кеннет Айверсон в своей книге «A Programming Language», опубликованной в 1962 году, не предложилIverson, p. 12.Higham, p. 25. округление числа до ближайшего целого в меньшую и большую стороны называть «пол» и «потолок» и обозначать и соответственно.
В современной математике используются оба обозначения, и , однако всё более и более преимущественно применяют терминологию и обозначения Айверсона: одна из причин состоит в том, что для отрицательных чисел понятие «целая часть числа» уже является неоднозначным. Например, целая часть числа 2,7 равна 2, но на то, как определить целую часть числа −2,7, уже возможны две точки зрения: по определению, данному в этой статье, , однако в некоторых калькуляторах функция целой части INT для отрицательных чисел определяется как INT(–x) = –INT(x), так что INT(–2,7) = −2. Терминология Айверсона лишена этих недостатков:
Определения Функция «пол» определяется как наибольшее целое, меньшее или равное :
Функция «потолок» — это наименьшее целое, большее или равное :
Эти определения эквивалентны следующим неравенствам (где n — целое число):
Свойства
В формулах, записанных ниже, буквами и обозначены вещественные числа, а буквами и — целые.
Пол и потолок как функции вещественной переменной
Функции пол и потолок отображают множество вещественных чисел в множество целых чисел:
Пол и потолок — кусочно-постоянные функции.
Функции пол и потолок разрывны: во всех целочисленных точках терпят разрывы первого рода со скачком, равным единице.
При этом функция пол является: полунепрерывной сверху и непрерывной справа.
Функция потолок является: полунепрерывной снизу и непрерывной слева.
Связь функций пол и потолок
Для произвольного числа верно неравенство
Для целого пол и потолок совпадают:
Если — не целое, то значение функции потолок на единицу больше значения функции пол:
Функции пол и потолок являются отражениями друг друга от обеих осей:
Пол/потолок: неравенства Любое неравенство между вещественным и целым числами равносильно неравенству с полом и потолком между целыми числами
Два верхних неравенства являются непосредственными следствиями определений пола и потолка, а два нижние — обращение верхних от противного.
Функции пол/потолок являются монотонно возрастающими функциями:
Пол/потолок: сложение Целочисленное слагаемое можно вносить/выносить за скобки пола/потолка
Предыдущие равенства, вообще говоря, не выполняются, если оба слагаемых — вещественные числа. Однако и в этом случае справедливы неравенства:
Пол/потолок под знаком функции Имеет место следующее предложение:
Пусть — непрерывная монотонно возрастающая функция, определенная на некотором промежутке, обладающая свойством:
Тогда
всякий раз, когда определены .
В частности,
если и — целые числа, и .
Пол/потолок: суммы Если — целые числа, , то
Вообще, если — произвольное вещественное число, а — целое положительное, то
Имеет место более общее соотношение
Так как правая часть этого равенства симметрична относительно и , то справедлив следующий закон взаимности:
Разложимость в ряд Тривиальным образом функция антье раскладывается в ряд с помощью функции Хевисайда:
где каждое слагаемое ряда создаёт характерные «ступеньки» функции. Этот ряд сходится абсолютно, однако ошибочное преобразование его слагаемых может привести к «упрощённому» ряду
который расходится.
Применение Целочисленные функции пол/потолок находят широкое применение в дискретной математике и теории чисел. Ниже приведены некоторые примеры использования этих функций.
Количество цифр в записи числа Количество цифр в записи целого положительного числа в позиционной системе счисления с основанием b равно
Округление
Ближайшее к целое число может быть определено по формуле
Бинарная операция mod
Операция «остаток по модулю», обозначаемая , может быть определена с помощью функции пола следующим образом. Если — произвольные вещественные числа, и , то неполное частное от деления на равно , а остаток
Дробная часть
Дробная часть вещественного числа по определению равна
Количество целых точек промежутка Требуется найти количество целых точек в замкнутом промежутке с концами и , то есть количество целых чисел , удовлетворяющий неравенству
В силу свойств пол/потолка, это неравенство равносильно . Это есть число точек в замкнутом промежутке с концами и , равное .
Аналогично можно подсчитать количество целых точек в других типах промежутков. Сводка результатов приведена ниже .
(Через обозначена мощность множества ).
Первые три результата справедливы при всех , а четвёртый — только при .
Теорема Рэлея о спектре
Пусть и — положительные иррациональные числа, связанные соотношением
Тогда в ряду чисел
каждое натуральное встречается в точности один раз. Иными словами, последовательности и , называемые последовательностями Битти, образуют разбиение натурального ряда.
В информатике
В Юникоде В Юникоде есть символы ⌊ (LEFT FLOOR, U+230A) и ⌋ (RIGHT FLOOR, U+230B).
В языках программирования Во многих языках программирования существуют встроенные функции пола/потолка floor(), ceil().
В системах вёрстки В TeX (и LaTeX) для символов пола/потолка , , , существуют специальные команды: \lfloor, \rfloor, \lceil, \rceil. Поскольку wiki использует LaTeX для набора математических формул, то и в данной статье использованы именно эти команды.
Примечания
См. также Дробная часть Округление Десятичный разделитель
Литература
Категория:Теория чисел Категория:Элементарная математика Категория:Кусочно-линейные функции