Аттрактор Рёсслера — хаотический аттрактор, которым обладает система дифференциальных уравнений Рёсслера.:
где — положительные постоянные. При значениях параметров и уравнения Рёсслера обладают устойчивым предельным циклом. При этих значениях параметров в системе происходит каскад удвоения периода. При возникает хаотический аттрактор. Чётко определённые линии предельных циклов расплываются и заполняют фазовое пространство бесконечным множеством траекторий, обладающим свойствами фрактала.
Сам Рёсслер изучал систему при постоянных , и , но также часто используются и значения , , и .
Анализ поведения системы в плоскости Два из уравнений системы Рёсслера линейны. При они принимают вид
Поэтому устойчивость движения в плоскости определяется собственными значениями матрицы Якоби , которые равны .
Когда , собственные значения имеют положительную вещественную часть и комплексно сопряжены. Поэтому фазовые траектории расходятся от начала координат по спирали. Теперь проанализируем изменение координаты , считая . Пока меньше , множитель в уравнении на будет удерживать траекторию близкой к плоскости . Как только станет больше , -координата начнёт расти. В свою очередь, большой параметр начнёт тормозить рост в .
Неподвижные точки Уравнения на неподвижные точки можно найти, положив производные в системе уравнений Рёсслера равными нулю. В результате оказывается, что существует две неподвижные точки:
Как видно на изображении проекции аттрактора Рёсслера выше, одна из этих точек расположена в центре спирали аттрактора, а другая находится далеко от неё.
Изменение параметров a, b и c Поведение аттрактора Рёсслера сильно зависит от значений постоянных параметров. Изменение каждого параметра даёт определённый эффект, в результате чего в системе может возникнуть устойчивая неподвижная точка, предельный цикл или решения системы станут «убегать» на бесконечность.
Бифуркационные диаграммы являются стандартным инструментом для анализа поведения динамических систем, в том числе и аттрактора Рёсслера. Они создаются путём решения уравнений системы, где фиксируются две переменные и изменяется одна. При построении такой диаграммы получаются почти полностью «закрашенные» регионы; это и есть область динамического хаоса.
Изменение параметра a Зафиксируем , и будем изменять .
В итоге опытным путём получим такую таблицу:
: Сходится к устойчивой точке. : Крутится с периодом 2. : Хаос . : Хаотичный аттрактор. : Аналогичен предыдущему, но хаос проявляется сильнее. : Аналогичен предыдущему, но хаос проявляется ещё сильнее.
Изменение параметра b
Зафиксируем , и будем менять теперь параметр . Как видно из рисунка, при стремящемся к нулю аттрактор неустойчив. Когда станет больше и , система уравновесится и перейдёт в стационарное состояние.
Изменение параметра c
Зафиксируем и будем изменять . Из бифуркационной диаграммы видно, что при маленьких система периодична, но при увеличении быстро становится хаотичной. Рисунки показывают, как именно меняется хаотичность системы при увеличении . Например при = 4 аттрактор будет иметь период равный единице, и на диаграмме будет одна единственная линия, то же самое повторится когда = 3 и так далее; пока не станет больше 12: последнее периодичное поведение характеризуется именно этим значением, дальше повсюду идёт хаос.
Приведём иллюстрации поведения аттрактора в указанном диапазоне значений , которые иллюстрируют общее поведение таких систем — частые переходы от периодичности к динамическому хаосу.
См. также Аттрактор Лоренца Примечания
Ссылки Флэш-анимация O.E. ROSSLER — AN EQUATION FOR CONTINUOUS CHAOS Java-анимация аттракторов Рёсслера и Лоренца Конструктор аттракторов для MacOS Аттрактор Рёсслера на Scholarpedia.org
Литература
Воронов В. К., Подоплелов А. В. Современная физика: Учебное пособие. М., КомКнига, 2005, 512 с., ISBN 5-484-00058-0, гл. 2 Физика открытых систем. п.п 2.4 Хаотический аттрактор Рёсслера.
Категория:Хаотические отображения