В математике лемма Гронуолла, также называемая леммой Гронуолла-Беллмана, позволяет ограничить функцию, удовлетворяющую определенному дифференциальному или интегральному неравенству решением соответствующего дифференциального или интегрального уравненияБеллман Р., Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений, ИЛ, 1954Bihari J., A genralizatial of differential equations, Acta math. Acad. Scient. Hung. VII, 1 (1956), 81-94. Имеется две формулировки леммы — в дифференциальной и в интегральной формах. Лемма Гронуолла является важным инструментом при получении различных оценок в теории обыкновенных и стохастических дифференциальных уравнений. В частности, она используется при доказательстве единственности решения задачи Коши.
Формулировка Пусть
при этом для выполняется неравенство:
где — положительная константа.
Тогда при имеем оценку:
Доказательство Из неравенства (1) получим:
и
А так как
то, проинтегрировав неравенство (3) в пределах от до , получим:
Отсюда, используя неравенство (1), получаем:
что и требовалось доказать.
Усиленная лемма Гронуолла Пусть функция неотрицательна и непрерывна в промежутке и удовлетворяет там неравенствуЛизоркин П. И. Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами анализа. - М., Наука, 1981. - c. 26-27: . Тогда при справедливо неравенство: .
Примечания
Ссылки PlanetMath Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: «Наука», 1967.
Гронуолла — Беллмана Категория:Неравенства Г