Пропагатор (функция распространения, причинная функция Грина) в квантовой механике и квантовой теории поля (КТП) — функция, характеризующая распространение релятивистского поля (или его кванта) от одного акта взаимодействия до другого. Эта функция определяет амплитуду вероятности перемещения частицы из одного места пространства (или пространства-времени) в другое за заданный промежуток времени или перемещения частицы с определённой энергией и импульсом. Для расчёта частоты столкновений в КТП используются виртуальные частицы, представленные в диаграммах Фейнмана пропагаторами, вносят свой вклад в вероятность рассеяния, описываемого соответствующей диаграммой. Их также можно рассматривать как оператор, обратный волновому оператору, соответствующему частице, и поэтому их часто называют (причинными) функциями Грина (термин «причинными» используется, чтобы отличить их от эллиптической функции Грина для оператора Лапласа)The mathematics of PDEs and the wave equation , p 32., Michael P. Lamoureux, University of Calgary, Seismic Imaging Summer School, August 7-11, 2006, Calgary.Ch.: 9 Green’s functions , p 6., J Peacock, FOURIER ANALYSIS LECTURE COURSE: LECTURE 15..
Нерелятивистские пропагаторы В нерелятивистской квантовой механике пропагатор определяет амплитуду вероятности того, что частица переместится из одной пространственной точки (x'), в которой она находится в момент времени (t'), в другую пространственную точку (x) в более поздний момент времени (t).
Если квантовая система описывается гамильтонианом , то функция Грина (фундаментальное решение) для уравнения Шрёдингера представляет собой функцию
удовлетворяющую неоднородному уравнению
где обозначает гамильтониан, записанный в координатном представлении , — дельта-функция Дирака, — ступенчатая функция Хевисайда, — ядро приведённого выше дифференциального оператора Шрёдингера в больших скобках, а также функция распространения. Термин пропагатор иногда используется в этом контексте для обозначения , а иногда и . В этой статье этот термин будет использоваться для обозначения (см. принцип Дюамеля).
Этот пропагатор также можно записать как амплитуду перехода
где — унитарный оператор эволюции во времени для системы, переводящей состояния в момент времени в состояния в момент времени . Обратите внимание на начальное условие, налагаемое на функцию распространения .
Квантово-механический пропагатор также можно определить с помощью интеграла по траекториям:
где граничные условия для интеграла включают условия . Здесь — лагранжиан системы. Вклады по всем возможным траекториям, которые суммируются, соответствуют движению частицы только вперёд во времени и интегрируются с дифференциалом .
В нерелятивистской квантовой механике пропагатор позволяет найти волновую функцию системы, учитывая начальную волновую функцию и временной интервал. Новая волновая функция вычисляется как
Если зависит только от разности , это свёртка исходной волновой функции и функции распространения.
Основные примеры: пропагатор свободной частицы и гармонического осциллятора Для трансляционно-инвариантной системы пропагатор зависит только от разницы времён , поэтому его записывают как
Пропагатор свободной частицы в одном измерении, получаемый, например, из интеграла по траекториям равен
Точно так же пропагатор для одномерного квантового гармонического осциллятора задаётся ядром МелераE. U. Condon, «Immersion of the Fourier transform in a continuous group of functional transformations» , Proc. Natl. Acad. Sci. USA 23, (1937) 158—164.Wolfgang Pauli, Wave Mechanics: Volume 5 of Pauli Lectures on Physics (Dover Books on Physics, 2000) . Section 44.,
Последнее можно получить из предыдущего результата для свободных частиц, используя тождество ван Кортрика для группы Ли SU(1,1)Kolsrud, M. (1956). Exact quantum dynamical solutions for oscillator-like systems, Physical Review 104(4), 1186.,
которое выполняется для операторов и , удовлетворяющих соотношению Гейзенберга .
Для -мерного случая пропагатор можно получить из произведения
Релятивистские пропагаторы В релятивистской квантовой механике и квантовой теории поля пропагаторы лоренц-инвариантны. Они дают амплитуду вероятности для частицы переместиться между двумя точками пространства-времени.
Скалярный пропагатор В квантовой теории поля теория свободного (или невзаимодействующего) скалярного поля является полезным и простым примером, служащим для иллюстрации понятий необходимых для более сложных теорий. Оно описывает частицы с нулевым спином. Существует ряд возможных пропагаторов теории свободного скалярного поля. Ниже описываются самые распространённые из них.
Координатное пространство Пропагаторы в координатном пространстве являются функциями Грина для уравнения Клейна — Гордона. Это означает, что они являются функциями удовлетворяющими уранвению
где
— две точки пространства Минковского, — оператор д’Аламбера действующий на -координаты, — дельта-функция Дирака.
(Как обычно в расчётах релятивистской квантовой теории поля используются единицы, в которых скорость света и приведённая постоянная Планка установлены равными единице.)
Если ограничиться 4-мерным пространством-временем Минковского, то можно выполнить преобразование Фурье уравнения для пропагатора, получив
Это уравнение можно обратить в смысле обобщённых функций, заметив, что уравнение имеет решение (см. теорему Сохоцкого — Племеля)
где под подразумевает предельный переход к нулю. Правильный выбор знака вытекает из требований причинности.
Решение
где
является скалярным произведением 4-векторов.
Различные варианты деформации в приведённом выше выражении приводят к различным формам пропагатора. Выбор контура обычно формулируется с точки зрения интеграла по .
Тогда подынтегральная функция имеет два полюса в точках
поэтому разные варианты того, как их обходить, приводят к разным пропагаторам.
Причинные пропагаторы
Запаздывающий пропагатор
Контур, проходящий по часовой стрелке через оба полюса, даёт причинный запаздывающий пропагатор. Это ноль, если пространственноподобно или если (то есть если относится к будущему моменту времени по отношении к ).
Такой выбор контура эквивалентен вычислению предела
где
— ступенчатая функция Хевисайда и
— собственное время от до и — функция Бесселя первого рода. Выражение означает, что , что для пространства-времени Минковского означает
и
Это выражение можо связать с вакуумным средним значением коммутатора оператора свободного скалярного поля,
где
— коммутатор.
Опережающий пропагатор
Контур, идущий против часовой стрелки под обоими полюсами, даёт причинный опережающий пропагатор. Это ноль, если пространственноподобно или если (то есть если находится в прошлом моменте времени по отношению к ).
Такой выбор контура эквивалентен вычислению предела
Это выражение можно также выразить через вакуумное среднее коммутатора свободного скалярного поля. В таком случае,
Пропагатор Фейнмана
Контур, проходящий под левым полюсом и над правым полюсом, даёт пропагатор Фейнмана.
Такой выбор контура эквивалентен вычислению предела
Где
где и — две точки в пространстве-времени Минковского, а точка в показателе степени обозначает четырёхвекторное скалярное произведение. — функция Ганкеля, а — модифицированная функцией Бесселя.
Это выражение можно получить непосредственно из теории поля как значение вакуумного среднего упорядоченного во времени произведения свободного скалярного поля, то есть произведения, всегда взятого таким, что временной порядок точек пространства-времени одинаков,
Это выражение является лоренц-инвариантным, поскольку операторы поля коммутируют друг с другом, когда точки и разделены пространственноподобным интервалом.
Обычный вывод состоит в том, чтобы вставить полный набор одночастичных импульсных состояний между полями с лоренцевской ковариантной нормировкой, а затем показать, что функции , обеспечивающие причинное упорядочение во времени, можно получить с помощью контурного интеграла вдоль оси энергии, если подынтегральная функция такая же, как указано выше (отсюда и бесконечно малая мнимая часть), чтобы сдвинуть полюс с действительной линии.
Пропагатор также можно получить с использованием интеграла по траекториям в квантовой теории поля.
Пропагатор в импульсном пространстве Преобразование Фурье пропагаторов в координатном пространстве можно рассматривать как пропагаторы в сопряжённом ему импульсном пространстве. Они имеют гораздо более простую форму, чем пропагаторы в координатном пространстве.
Они часто записываются с явным слагаемым , хотя это понимается как напоминание о том, какой выбран контур интегрирования (см. Выше). Этот член включён для учёта граничных условий и причинно-следственной связи (см. Ниже).
Для 4-импульса причинный пропагатор и пропагатор Фейнмана в импульсном пространстве таковы:
Для расчётов диаграмм Фейнмана обычно удобно записывать их с дополнительным общим коэффициентом (условия различаются).
Быстрее света? Пропагатор Фейнмана обладает некоторыми свойствами, которые на первый взгляд кажутся непонятными. В частности, в отличие от коммутатора, пропагатор отличен от нуля вне светового конуса, хотя и быстро спадает для пространственноподобных интервалов. Интерпретируемое как амплитуда движения частицы, это означает, что виртуальная частица движется быстрее света. Не сразу очевидно, как это можно примирить с причинно-следственной связью: можно ли использовать сверхсветовые виртуальные частицы для отправки сверхсветовых сообщений?
Ответ — нет. Хотя в классической механике интервалы, по которым могут перемещаться частицы и причинные эффекты, совпадают, это не так в квантовой теории поля, где именно коммутаторы определяют, какие операторы могут влиять друг на друга.
Так что же представляет собой пространственноподобная часть пропагатора? В КТП вакуум является активным участником, а числа частиц и значения полей связаны из принципа неопределенности; значения поля неопределенны даже для когда частиц нет. Существует ненулевая амплитуда вероятности обнаружить значительную флуктуацию вакуумного значения поля , если измерить его локально (точнее, если измерить оператор, полученный усреднением поля по малой области). Кроме того, динамика полей имеет тенденцию в некоторой степени способствовать пространственно-коррелированным флуктуациям. Затем ненулевое упорядоченное по времени произведение для разделённых пространственноподобным интервалом полей просто измеряет амплитуду нелокальной корреляции в этих флуктуациях вакуума, аналогичной корреляции ЭПР. Действительно, пропагатор часто называют двухточечной корреляционной функцией для свободного поля.
Поскольку, согласно постулатам квантовой теории поля, все операторы наблюдаемых коммутируют друг с другом на пространственноподобном расстоянии, сообщения можно отправлять через эти корреляции не больше, чем через любые другие ЭПР-корреляции; корреляции находятся в случайных величинах.
Что касается виртуальных частиц, то пропагатор при пространственно-подобном разделении можно рассматривать как средство вычисления амплитуды для создания виртуальной пары частица-античастица, которая в конечном итоге исчезает в вакууме, или для обнаружения виртуальной пары, выходящей из вакуума. На языке Фейнмана такие процессы рождения и уничтожения эквивалентны виртуальной частице, блуждающей вперёд и обратно по времени, что может вывести её за пределы светового конуса. Однако передача сигналов назад во времени запрещена.
Объяснение с использованием пределов Это можно объяснит иначе, записав пропагатор в следующей форме для безмассового фотона:
Это обычное определение, но нормированное коэффициентом . Тогда правило состоит в том, что берётся предел в конце расчёта.
Видно, что
если
и
если
Следовательно, это означает, что один фотон всегда будет оставаться на световом конусе. Также показано, что полная вероятность фотона в любой момент времени должна быть нормирована обратной величиной следующего множителя: