Радикал Джекобсона — пересечение всех модулярных максимальных правых идеалов заданного кольца. Предложен и изучен Натаном Джекобсоном в 1945 году в развитие общего понятия о , до этого представленных нильрадикалом и радикалом идеала в коммутативном случае. Стандартное обозначение — , иногда используются обозначения , , , .
Также может быть определён как наибольший квазирегулярный идеал (то есть идеал, в котором разрешимо уравнение ), в факторкольце по которому нет ненулевых квазирегулярных идеалов. Пересечение ядер всех неприводимых представлений кольца совпадает с радикалом Джекобсона.
Всякий элемент кольца с единицей принадлежит радикалу Джекобсона тогда и только тогда, когда элемент обратим в для всех .
Радикал Джекобсона всегда содержит нильрадикал; в артиновых кольцах радикал Джекобсона и нильрадикал равны. Радикал Джекобсона идеала кольца совпадает пересечение идеала с радикалом Джекобсона кольца: .
Понятие естественно переносится на модули над кольцом: радикал (Джекобсона) -модуля определяется как пересечение всех максимальных подмодулей , а если таковых нет — то полагается .
Примечания
Литература
Категория:Теория колец