В теории вероятностей два случайных события называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другогоТатарников О. В. Математика, 2016. — С. 272.. Аналогично, две случайные величины называют независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие значения принимает другая случайная величинаПопов А. М., Сотников В. Н. Теория вероятностей и математическая статистика, 2014. — С. 112..
Независимые события Определение 1. Два события и независимы, если появление события не меняет вероятности появления события .
В том случае, если вероятность одного события, скажем , ненулевая, то есть , определение независимости эквивалентно:
то есть условная вероятность события при условии равна безусловной вероятности события .
Определение 2. События называются независимыми, если совместная вероятность этих событий равна произведению вероятностей этих событий, то естьИвановский Р. И. Теория вероятностей и математическая статистика, 2008. — С. 30.
Несколько событий называются попарно независимыми, если независимы каждые два из нихИвановский Р. И. Теория вероятностей и математическая статистика, 2008. — С. 31..
Определение 3. События называются независимыми в совокупности, если для любого для любого набора событий верно утверждение:
Определение также можно изложить без двойных индексов. А именно, набор событий называется независимым в совокупности, если пересечение любого поднабора событий независимо с любым событием, не входящим в поднабор.
Независимость в совокупности влечёт попарную независимость. Обратное, в общем случае, неверно.
Независимые случайные величины Пусть — распределение случайного вектора , — распределение и — распределение . Тогда независимы тогда и только тогда, когда
где обозначает (прямое) произведение мер. Пусть — функции распределения соответственно. Тогда независимы тогда и только тогда, когда
Пусть случайные величины дискретны. Тогда они независимы тогда и только тогда, когда
Пусть случайные величины непрерывны, то есть их совместное распределение имеет плотность . Тогда они независимы тогда и только тогда, когда , где — плотности вероятности случайных величин и соответственно. Пусть случайные величины — независимы. Тогда они не являются коррелированными. Любой набор независимых в совокупности случайных величин является попарно независимым, но не все попарно независимые наборы являются независимыми в совокупности. Последнее демонстрирует пример с подбрасыванием монетки, приведённый С. Н. Бернштейном.
См. также Лемма Бореля — Кантелли Закон нуля или единицы Колмогорова Копула
Примечания
Ссылки
Категория:Теория вероятностей