Алгебра Хопфа — ассоциативная алгебра над полем, имеющая единицу и являющаяся также коассоциативной коалгеброй с коединицей (таким образом, являющаяся биалгеброй) c антигомоморфизмом специального вида. Названа в честь Хайнца Хопфа.

Алгебры Хопфа встречаются в алгебраической топологии, где они впервые возникли в связи с концепцией H-пространства, в теории групповых схем, в теории групп (благодаря концепции группового кольца) и не только. Частая распространенность делает их одним из самых известных примеров биалгебр. Алгебры Хопфа также изучаются как самостоятельный объект в связи с большим количеством определённых классов алгебр Хопфа и проблем их классификации.

Определение

Алгебра Хопфа — ассоциативная и коассоциативная биалгебра над полем вместе с -линейным отображением (называемым антиподом) таким, что следующая диаграмма коммутативна:

Здесь  — коумножение биалгебры, — её умножение,  — её единица и  — её коединица. В обозначениях Свидлера, это свойство также может быть выражено как: .

Приведённое определение можно обобщить на алгебры над кольцами (достаточно в определении заменить поле  на коммутативное кольцо ).

Определение алгебры Хопфа двойственно самому себе (это отражено в симметрии приведённой диаграммы), в частности, пространство, двойственное к (которое всегда можно определить, если является конечномерным) автоматически является алгеброй Хопфа.

Свойства антипода

Антипод иногда обязан иметь -линейную инверсию, которая является автоматической в конечномерном случае, или если коммутативна или кокоммутативна (или, вообще говоря, квазитреугольная).

Вообще говоря,  — антигомоморфизмDăscălescu, Năstăsescu & Raianu (2001), Prop. 4.2.6, p. 153 , так  — гомоморфизм, который является поэтому автоморфизмом, если было обратимо (как может требоваться).

Если , то алгебра Хопфа, как говорят, является запутанной (и основная алгебра с запутанностью — *-алгебра). Если  — конечномерная полупростая алгебра по полю характеристики ноль, коммутативная, или кокоммутативная, то это — запутанная алгебра.

Если биалгебра допускает антипод , то единственен («биалгебра допускает самое большее 1 структуру алгебры Хопфа»).Dăscălescu, Năstăsescu & Raianu (2001), Remarks 4.2.3, p. 151

Антипод — аналог к отображению инверсии на группе, которая посылает к .

Подалгебры Хопфа

Подалгебра алгебры Хопфа является подалгеброй Хопфа, если она является подкоалгеброй и антипод отображает в . Другими словами, подалгебра Хопфа  — это подпространство в алгебре Хопфа, замкнутое относительно умножения, коумножения и антипода. Теорема Николса — Зеллер (Nichols — Zoeller) о свободности (1989) утверждает, что любой натуральный -модуль имеет конечный ранг и свободен, если конечномерна, что даёт обобщение теоремы Лагранжа для подгрупп. Как следствие этой теории, подалгебра Хопфа полупростой конечномерной алгебры Хопфа автоматически полупроста.

Подалгебра Хопфа называется правой нормальной подалгеброй алгебры Хопфа , если она удовлетворяет условию стабильности, для всех из , где присоединённое действие определено как для всех из и из . Точно так же подалгебра Хопфа является левой нормальной в если она инвариантна при левом сопряжении, определенном как для всех из . Оба условия нормальности эквивалентны, если антипод биективен. В этом случае говорят, что является нормальной подалгеброй Хопфа.

Нормальная подалгебра Хопфа в удовлетворяет условию (равенства подмножеств ): , где обозначает ядро коединицы . Это условие нормальности подразумевает, что  — идеал Хопфа алгебры (то есть является идеалом алгебры в ядре коединицы, коидеалом коалебры и устойчив под действием антипода). Как следствие, определена факторалгебра Хопфа и эпиморфизм , аналогично соответствующим конструкциям нормальных подгрупп и факторгрупп в теории групп.S. Montgomery, Hopf algebras and their actions on rings, Conf. Board in Math. Sci. vol. 82, A.M.S., 1993. ISBN 0-8218-0738-2

Примеры

Групповая алгебра. Пусть  — группа. Алгебра  — ассоциативная алгебра над , с единицей. Если мы определим для любого из , для любого из , для любого из , то превращается в алгебру Хопфа.

Диаграмма китайских иероглифов - связный граф, имеющий лишь трехвалентные вершины, с выделенным ориентированным циклом (петлей Вильсона), и фиксированным циклическим порядком тройки ребер, которые выходят из каждой вершины, не лежащей на петле Вильсона. Группа китайских диаграмм порядка - свободный -модуль, порожденный -вершинными диаграммами (которые рассматриваются с точностью до естественной эквивалентности), факторизованный по подмодулю, порожденному всевозможными -соотношениямиВ.А.Васильев - Топология дополнений к дискриминантам. М.: ФАЗИС, 1997..

Когомологии групп Ли

Алгебра когомологий группы Ли — алгебра Хопфа: умножение — стандартное произведение в кольце когомологий, а коумножение имеет вид

в силу умножения группы . Это наблюдение было фактически источником понятия алгебры Хопфа. Используя эту структуру, Хопф доказал структурную теорему для алгебры когомологий групп Ли.

Теорема ХопфаHopf, 1941. Пусть — конечномерная градуированно-коммутативная кокоммутативная алгебра Хопфа над полем характеристики 0. Тогда (как алгебра) — свободная внешняя алгебра с генераторами нечетной степени.

Квантовые группы

Все примеры выше являются либо коммутативными (то есть умножение коммутативное), либо кокоммутативными (то есть , где есть перестановка тензорных сомножителей, определенная как . Другими интересными примерами алгебр Хопфа — некоторые деформации, или «квантования», примера 3, которые не являются ни коммутативными, ни кокоммутативными. Эти алгебры Хопфа часто называют «квантовыми группами». Идея состоит в следующем: обычная алгебраическая группа может быть описана в терминах алгебры Хопфа регулярных функций. Мы можем тогда думать о деформации этой алгебры Хопфа как об описании некоторой «квантованной» алгебраической группы (хотя она и не является алгебраической группой ни в каком смысле). Многие свойства алгебраических групп, а также конструкции с ними имеют свои аналоги в мире деформированных алгебр Хопфа. Отсюда название «квантовая группа».

Аналогия с группами

Группы могут быть аксиоматизированы при помощи тех же диаграмм (эквивалентностей, операций), что и алгебры Хопфа, где  — множество, а не модуль. В этом случае: поле заменено множеством из 1 элемента есть естественная коединица (отображение в единственный элемент) есть естественное коумножение (диагональное отображение) единица — нейтральный элемент группы умножение — умножение в группе антипод — взятие обратного элемента в группе В этом смысле о группах можно думать как о алгебрах Хопфа над .Group = Hopf algebra " Secret Blogging Seminar , Group objects and Hopf algebras , video of Simon Willerton.

Примечания

Ссылки

. Pierre Cartier, A primer of Hopf algebras, IHES preprint, September 2006, 81 pages Jurgen Fuchs, Affine Lie Algebras and Quantum Groups, (1992), Cambridge University Press. ISBN 0-521-48412-X H. Hopf, Uber die Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ihrer Verallgemeinerungen, Ann. of Math. 42 (1941), 22-52. Reprinted in Selecta Heinz Hopf, pp. 119–151, Springer, Berlin (1964). .

Литература

Категория:Общая алгебра Категория:Алгебры над кольцами