Коалгебра — математическая структура, которая двойственна (в смысле обращения стрелок) к ассоциативной алгебре с единицей. Аксиомы унитарной ассоциативной алгебры могут быть сформулированы в терминах коммутативных диаграмм. Аксиомы коалгебры получаются путём обращения стрелок. Каждая коалгебра c дуальностью (векторного пространства) порождает алгебру, но не наоборот. В конечномерном случае дуальность есть в обоих направлениях. Коалгебры встречаются в разных случаях (например, в универсальных обёртывающих алгебрах и ). Существует также , имеющая важные приложения в информатике.
Определение
Коалгебра над полем — это векторное пространство над вместе с -линейными отображениями и , такими что
.
(Здесь и означает тензорное произведение над .)
Эквивалентно, следующие две диаграммы коммутируют:
На первой диаграмме мы отождествляем с как два естественно изоморфных пространстваYokonuma (1992), p. 12, Prop. 1.7.. Аналогично, на второй диаграмме отождествлены естественно изоморфные пространства , и Yokonuma (1992), p. 10, Prop. 1.4..
Первая диаграмма двойственна диаграмме, выражающей ассоциативность операции умножения алгебры (и называется коассоциативностью коумножения); вторая диаграмма двойственна диаграмме, выражающей существование мультипликативного нейтрального элемента. Соответственно, отображение называется коумножением (или копроизведением) в , а является коединицей .
Пример
Рассмотрим множество и образуем векторное пространство над с базисом . Элементами этого векторного пространства являются такие функции из в которые отображают все элементы , кроме конечного числа, в ноль; мы отождествим элемент из с функцией которая отображает в 1 и все остальные элементы в 0. Мы будем обозначать это пространство как . Мы определим
и могут быть единственным образом продолжены на всё по линейности. Векторное пространство становится коалгеброй с коумножением и коединицей (проверка этого является хорошим способом, чтобы привыкнуть к использованию аксиом коалгебры).
Конечномерный случай
В конечномерном случае, двойственность между алгеброй и коалгеброй ближе: объект, двойственный к конечномерной (унитарной ассоциативной) алгебре есть коалгебра, а двойственный к конечномерной коалгебре есть (унитарная ассоциативная) алгебра. Вообще же говоря, объект, двойственный к алгебре, может не быть коалгеброй.
Это следует из того, что, для конечномерных пространств, и изоморфны.
Ещё раз: алгебра и коалгебра — двойственные понятия (аксиомы, определяющие одну, получаются из аксиом другой обращением стрелок), тогда как для конечномерных пространств они являются ещё и двойственными объектами.
Примечания
См. также
Алгебра Хопфа Косвободная коалгебра
Литература
. . . Chapter III, section 11.
Ссылки
William Chin: A brief introduction to coalgebra representation theory
Категория:Общая алгебра Категория:Теория категорий