Вы́рожденная ма́трица (синонимы: сингуля́рная ма́трица, осо́бая ма́трица, осо́бенная ма́трица) — квадратная матрица определитель которой равен нулю.
Эквивалентные условия вырожденности Используя различные понятия линейной алгебры, можно привести различные условия вырожденности: Строки или столбцы матрицы линейно зависимы. В частном случае, если в вырожденной матрице существует как минимум две строки (или два столбца) и отвечающие условию где — скаляр, то матрица будет вырожденной. Отсюда следует и тривиальный случай, что вырождена любая квадратная матрица, содержащая нулевой столбец или строку. Квадратная матрица вырождена тогда и только тогда, когда существует ненулевой вектор такой, что Иными словами, линейный оператор, соответствующий матрице в стандартном базисе, имеет ненулевое ядро. Квадратная матрица вырождена тогда и только тогда, когда у неё есть хотя бы одно нулевое собственное значение Это вытекает из уравнения, которому удовлетворяют все собственные значения матрицы: (где — единичная матрица), а также из того факта, что определитель матрицы равен произведению её собственных значений.
Свойства У вырожденной матрицы нет стандартной обратной матрицы. В то же время у вырожденной матрицы есть псевдообратная матрица (обобщённая обратная матрица) или даже их бесконечное количество. Ранг вырожденной матрицы меньше её размера (числа строк). Произведение вырожденной матрицы и любой квадратной матрицы с тем же размером даёт вырожденную матрицу. Это вытекает из свойства Вырожденная матрица, возведённая в любую целую положительную степень, остаётся вырожденной. Произведение любого количества матриц вырождено тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей вырожден. Произведение невырожденных матриц не может быть вырожденным. Транспонирование вырожденной матрицы оставляет её вырожденной (поскольку транспонирование не изменяет определитель матрицы, ). Умножение вырожденной матрицы на скаляр оставляет её вырожденной (поскольку , где — размер вырожденной матрицы , — скаляр). Эрмитово-сопряжённая матрица вырожденной матрицы вырождена (поскольку определитель эрмитово-сопряжённой матрицы комплексно сопряжён с определителем исходной матрицы и, следовательно, равен нулю). Союзная (взаимная, присоединённая) матрица вырожденной матрицы вырождена (это вытекает из свойства союзных матриц ). Произведение вырожденной матрицы на союзную ей матрицу даёт нулевую матрицу: поскольку для произвольной квадратной матрицы Треугольная (и, в частности, диагональная) матрица вырождена тогда и только тогда, когда хотя бы один из её элементов на главной диагонали нулевой. Это вытекает из того, что определитель треугольной матрицы равен произведению элементов на её главной диагонали. Если матрица вырождена, то система уравнений имеет ненулевые решения. Перестановка строк или столбцов вырожденной матрицы даёт вырожденную матрицу. Вырожденная матрица, рассматриваемая как линейный оператор, отображает векторное пространство в его подпространство меньшей размерности.
Частные случаи Вырожденными матрицами являются, в частности: нулевая матрица (состоящая из одних нулей); матрица единиц (состоящая из одних единиц) при размере ; нильпотентные матрицы (матрицы, какая-либо натуральная степень которых является нулевой матрицей); сдвиговые матрицы (подмножество нильпотентных матриц); матрица Вандермонда, если хотя бы два её параметра совпадают; Матрицы Гелл-Манна в стандартном представлении (кроме ); Матрица Кирхгофа (известна также как матрица Лапласа) — матричное представление графа.
См. также Обратная матрица Невырожденная матрица Ядро
Литература
Категория:Типы матриц