Треуго́льная ма́трица — в линейной алгебре квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю.
Основные определения Верхняя треугольная матрица (или верхнетреугольная матрица) — квадратная матрица , у которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю: при
Нижняя треугольная матрица (или нижнетреугольная матрица) — квадратная матрица , у которой все элементы выше главной диагонали равны нулю: при .
Унитреугольная матрица (верхняя или нижняя) — треугольная матрица , в которой все элементы на главной диагонали равны единице: .
Диагональная матрица является одновременно и верхней треугольной, и нижней треугольной.
Применение Треугольные матрицы используются в первую очередь при решении систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Например, метод Гаусса решения СЛАУ основан на следующем результате: любую матрицу путём элементарных преобразований над строками и перестановок строк можно привести к треугольному виду.
Тем самым решение исходной СЛАУ сводится к решению системы линейных уравнений с треугольной матрицей коэффициентов, что не представляет сложностей.
Существуют вариант этого метода (называемый компактной схемой метода Гаусса), основанный на следующих результатах: любую квадратную матрицу с отличными от нуля ведущими главными минорами можно представить в виде произведения нижней треугольной матрицы и верхней треугольной матрицы : (см. LU-разложение), причём такое разложение единственно, если диагональные элементы одной из двух треугольных матриц заранее зафиксированы — например, можно потребовать, чтобы была унитреугольной; любую невырожденную квадратную матрицу можно представить в следующем виде: , где — матрица перестановок (выбирается в процессе построения разложения) (см. LUP-разложение).
Свойства Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов её главной диагонали (в частности, определитель унитреугольной матрицы равен единице). Множество невырожденных верхних треугольных матриц порядка n по умножению с элементами из поля k образует группу, которая обозначается UT(n, k) или UTn (k). Множество невырожденных нижних треугольных матриц порядка n по умножению с элементами из поля k образует группу, которая обозначается LT(n, k) или LTn (k). Множество верхних унитреугольных матриц с элементами из поля k образует подгруппу UTn (k) по умножению, которая обозначается SUT(n, k) или SUTn (k). Аналогичная подгруппа нижних унитреугольных матриц обозначается SLT(n, k) или SLTn (k). Множество всех верхних треугольных матриц с элементами из ассоциативного кольца k образует алгебру относительно операций сложения, умножения на элементы кольца и перемножения матриц. Аналогичное утверждение справедливо для нижних треугольных матриц. Группа UTn разрешима, а её унитреугольная подгруппа SUTn нильпотентна.
См. также Система линейных алгебраических уравнений Элементарные преобразования матрицы Единичная матрица Диагональная матрица
Примечания
Литература
Категория:Вычислительная математика Категория:Типы матриц Категория:Численные методы линейной алгебры