Сходимость по Борелю

Сходимость по Борелю — обобщение понятия сходимости ряда, предложенное французским математиком Эмилем Борелем. Существует два неэквивалентных определения, которые связывают с именем Бореля.

Определение Пусть дан числовой ряд Ряд называется сходящимся по Борелю (или B-сходящимся), если существует предел: где Sk — частичные суммы ряда. Число S тогда называется борелевской суммой ряда. Пусть дан числовой ряд Ряд называется сходящимся по Борелю (или B'-сходящимся), если существует интеграл:

Пример Рассмотрим ряд Данный ряд является расходящимся для произвольного Однако по интегральным определениям сходимости по Борелю имеем:

и сумма является определённой для отрицательных значений x.

Свойства Пусть функция:

регулярна в нуле и С — множество всех её особенных точек. Через каждую точку проведём отрезок и прямую , которая проходит через точку Р перпендикулярно к . Множество точек, лежащих по одну сторону с нулём к каждой из прямых обозначим . Тогда граница области называется многоугольником Бореля функции f(z), а область её внутренней областью. Справедлива теорема: ряд

является B-сходящимся в области и не является B-сходящимся в области  — дополнения до .

См. также Сходимость по Чезаро Сходимость по Пуассону — Абелю Сходимость по Эйлеру

Ссылки Borel summation method, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104 Borel Summation

Литература Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. — Изд. 6-является, стереотипное. — М.: Наука, 1966 Харди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951. Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994), Borel’s Methods of Summability: Theory and Applications, Oxford UP, ISBN 0-19-853585-6 .

Категория:Ряды Категория:Сходимость