Наиме́ньшее о́бщее кра́тное () двух целых чисел и есть наименьшее натуральное число, которое делится на и без остатка, то есть кратно им обоим. Обозначается одним из следующих способов:
или (от ). Пример: .
Наименьшее общее кратное для нескольких чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел.
Одно из наиболее частых применений — приведение дробей к общему знаменателю.
Свойства Коммутативность: . Ассоциативность: . Связь с наибольшим общим делителем :
В частности, если и — взаимно-простые числа, то при Наименьшее общее кратное двух целых чисел и является делителем всех других общих кратных и . Более того, множество общих кратных , совпадает с множеством кратных для . Асимптотики для могут быть выражены через некоторые теоретико-числовые функции. Так: функция Чебышёва что следует из определения и свойств функции Ландау ; что следует из закона распределения простых чисел.
Нахождение НОК можно вычислить несколькими способами.
1. Если известен наибольший общий делитель, можно использовать его связь с :
2. Пусть известно каноническое разложение обоих чисел на простые множители:
где — различные простые числа, а и — неотрицательные целые числа (они могут быть нулями, если соответствующее простое отсутствует в разложении). Тогда вычисляется по формуле:
Другими словами, разложение содержит все простые множители, входящие хотя бы в одно из разложений чисел , причём из показателей степени этого множителя берётся наибольший. Пример для бо́льшего количества чисел:
Вычисление наименьшего общего кратного нескольких чисел может быть также сведено к нескольким последовательным вычислениям от двух чисел:
См. также Наибольший общий делитель
Литература
Ссылки
Категория:Теория чисел Категория:Делимость и остатки