Отношение эквивалентности — бинарное отношение между элементами данного множества, свойства которого сходны со свойствами отношения равенства.
Определение Отношение эквивалентности () на множестве — это бинарное отношение, для которого при любых из выполнены следующие условия: рефлексивность: ; симметричность: если , то ; транзитивность: если и , то .
Запись вида «» читается как « эквивалентно ».
Связанные определения Классом эквивалентности элемента называется подмножество элементов, эквивалентных ; то есть, . Из вышеприведённого определения немедленно следует, что если , то .
Фактормножество — множество всех классов эквивалентности заданного множества по заданному отношению , обозначается .
Для класса эквивалентности элемента используются следующие обозначения: , , .
Множество классов эквивалентности по отношению является разбиением множества.
Примеры Равенство («»), тривиальное отношение эквивалентности на любом множестве, в частности, вещественных чисел. Сравнение по модулю: а ≡ b (mod n). В евклидовой геометрии Отношение конгруэнтности («»). Отношение подобия («»). Отношение параллельности прямых («») (если считать каждую прямую параллельной самой себе). Эквивалентность функций в математическом анализе: Говорят, что функция эквивалентна функции при , если она допускает представление вида , где при . В этом случае пишут , напоминая при необходимости, что речь идёт о сравнении функций при . Если при , эквивалентность функций и при , очевидно, равносильна соотношению . Эквивалентность норм на векторном пространстве. Отношение равномощности, ограниченное на любое фиксированное семейство множеств. Изоморфизм групп, колец, векторных пространств Эквивалентность категорий. Изоморфизм в некоторой категории задаёт отношение эквивалентности на этой категории. Эквивалентность гладких атласов гладкого многообразия.
Классы эквивалентности Множество всех классов эквивалентности, отвечающее отношению эквивалентности , обозначается символом и называется фактормножеством относительно . При этом сюръективное отображение
называется естественным отображением (или канонической проекцией) на фактормножество .
Пусть и — множества, — отображение, тогда бинарное отношение , определённое правилом , является отношением эквивалентности на . При этом отображение индуцирует отображение , определяемое правилом
или, что то же самое, . При этом получается факторизация отображения на сюръективное отображение и инъективное отображение .
См. также Отношение толерантности — ослабленная форма эквивалентности. Эквиваленция — логическая операция. Знак равенства.
Литература А. И. Кострикин, Введение в алгебру. : Наука, 1977, 47—51. А. И. Мальцев, Алгебраические системы, : Наука, 1970, 23—30.
Категория:Математические отношения