Распределе́ние (хи-квадра́т) с степеня́ми свобо́ды — распределение суммы квадратов независимых стандартных нормальных случайных величин.

Определение Пусть  — совместно независимые стандартные нормальные случайные величины, то есть: . Тогда случайная величина

имеет распределение хи-квадрат с степенями свободы, то есть , или, если записать по-другому:

.

Распределение хи-квадрат является частным случаем гамма-распределения, и его плотность имеет вид: ,

где означает гамма-распределение, а  — гамма-функцию.

Функция распределения имеет следующий вид: , где и обозначают соответственно полную и нижнюю неполную гамма-функции.

Свойства распределения хи-квадрат Распределение хи-квадрат устойчиво относительно суммирования. Если независимы, и , а , то . Из определения легко получить моменты распределения хи-квадрат. Если , то , . В силу центральной предельной теоремы, при большом числе степеней свободы распределение случайной величины может быть приближено нормальным . Более точно по распределению при .

Связь с другими распределениями Если независимые нормальные случайные величины, то есть: известно, то случайная величина

имеет распределение . Если , то распределение хи-квадрат совпадает с экспоненциальным распределением: . Если , тогда  — распределение Эрланга. Если и , то случайная величина

имеет распределение Фишера со степенями свободы . (нецентральное хи-квадрат распределение с параметром нецентральности ) Если и , тогда . (гамма-распределение) Если , тогда (хи распределение) Если (распределение Рэлея), тогда Если (распределение Максвелла), тогда Если и независимы, тогда  — (бета-распределение) Если  — (равномерное распределение), тогда  — преобразование распределения Лапласа Если , тогда хи-квадрат распределение — преобразование распределения Парето t-распределение — преобразование распределения хи-квадрат t-распределение может быть получено из распределения хи-квадрат и нормального распределения Если и  — независимы, тогда . Если и не являются независимыми, тогда не обязано быть распределено по закону хи-квадрат.

Вариации и обобщение Дальнейшим обобщением распределения хи-квадрат является так называемое , возникающее в некоторых задачах статистики.

Квантили

Квантиль — это число (аргумент), на котором функция распределения равна заданной, требуемой вероятности. Грубо говоря, квантиль — это результат обращения функции распределения, но есть тонкости с разрывными функциями распределения.

История Критерий был предложен Карлом Пирсоном в 1900 году. Его работа рассматривается как фундамент современной математической статистики. Предшественники Пирсона просто строили графики экспериментальных результатов и утверждали, что они правильны. В своей статье Пирсон привёл несколько интересных примеров злоупотреблений статистикой. Он также доказал, что некоторые результаты наблюдений за рулеткой (на которой он проводил эксперименты в течение двух недель в Монте-Карло в 1892 году) были так далеки от ожидаемых частот, что шансы получить их снова при предположении, что рулетка устроена добросовестно, равны одному из 1029.

Общее обсуждение критерия и обширную библиографию можно найти в обзорной работе Вильяма Дж. Кокрена.

Приложения Распределение хи-квадрат имеет многочисленные приложения при статистических выводах, например при использовании критерия хи-квадрат и при оценке дисперсий. Оно используется в проблеме оценивания среднего нормально распределённой популяции и проблеме оценивания наклона линии регрессии благодаря его роли в распределении Стьюдента. Оно используется в дисперсионном анализе.

Далее приведены примеры ситуаций, в которых распределение хи-квадрат возникает из нормальной выборки:

если  — независимые и одинаково распределенные по закону случайные величины, тогда , где В таблице показаны некоторые статистики, основанные на независимых случайных величин, распределения которых связаны с распределением хи-квадрат: Название Статистика распределение хи-квадрат нецентральное распределение хи-квадрат распределение хи нецентральное распределение хи

Таблица значений и -значений Для любого числа между 0 и 1 определено -значение — вероятность получить для данной вероятностной модели распределения значений случайной величины такое же или более экстремальное значение статистики (среднего арифметического, медианы и др.), по сравнению с наблюдаемым, при условии верности нулевой гипотезы. В данном случае это распределение . Так как значение функции распределения в точке для соответствующих степеней свободы дает вероятность получить значение статистики менее экстремальное, чем эта точка, -значение можно получить, если отнять от единицы значение функции распределения. Малое -значение — ниже выбранного уровня значимости — означает статистическую значимость. Этого будет достаточно, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу. Чтобы различать значимые и незначимые результаты, обычно используют уровень 0,05.

В таблице даны -значения для соответствующих значений у первых десяти степеней свободы. Степени свободы () Значение Chi-Squared Test Table B.2. Dr. Jacqueline S. McLaughlin at The Pennsylvania State University. Этот источник, в свою очередь, ссылается на: R. A. Fisher and F. Yates, Statistical Tables for Biological Agricultural and Medical Research, 6th ed., Table IV. Два значения были исправлены, 7,82 на 7,81 и 4,60 на 4,61. 1 0,004 0,02 0,06 0,15 0,46 1,07 1,64 2,71 3,84 6,63 10,83 2 0,10 0,21 0,45 0,71 1,39 2,41 3,22 4,61 5,99 9,21 13,82 3 0,35 0,58 1,01 1,42 2,37 3,66 4,64 6,25 7,81 11,34 16,27 4 0,71 1,06 1,65 2,20 3,36 4,88 5,99 7,78 9,49 13,28 18,47 5 1,14 1,61 2,34 3,00 4,35 6,06 7,29 9,24 11,07 15,09 20,52 6 1,63 2,20 3,07 3,83 5,35 7,23 8,56 10,64 12,59 16,81 22,46 7 2,17 2,83 3,82 4,67 6,35 8,38 9,80 12,02 14,07 18,48 24,32 8 2,73 3,49 4,59 5,53 7,34 9,52 11,03 13,36 15,51 20,09 26,12 9 3,32 4,17 5,38 6,39 8,34 10,66 12,24 14,68 16,92 21,67 27,88 10 3,94 4,87 6,18 7,27 9,34 11,78 13,44 15,99 18,31 23,21 29,59 -значение 0,95 0,90 0,80 0,70 0,50 0,30 0,20 0,10 0,05 0,01 0,001

Эти значения могут быть вычислены через квантиль (обратную функцию распределения) распределения хи-квадрат. Например, квантиль для и дает =, как в таблице сверху. Это означает, что для экспериментального наблюдения семи независимых случайных величин при справедливости нулевой гипотезы «каждая величина описывается нормальным стандартным распределением с медианой 0 и стандартным отклонением 1» значение можно получить лишь в 5 % реализаций. Получение большего значения обычно можно считать достаточным основанием для отбрасывания этой нулевой гипотезы.

В таблице дано округление до сотых; более точные таблицы для большего количества степеней свободы см., например, здесь.

См. также Критерий согласия Пирсона (критерий )

Примечания

Категория:Непрерывные распределения