Экспоненциа́льное (или показа́тельное) распределе́ние — абсолютно непрерывное распределение, моделирующее время между двумя последовательными свершениями одного и того же события.

Определение Случайная величина имеет экспоненциальное распределение с параметром , если её плотность вероятности имеет вид:

.

Пример. Пусть есть магазин, в который время от времени заходят покупатели. При определённых допущениях время между появлениями двух последовательных покупателей будет случайной величиной с экспоненциальным распределением. Среднее время ожидания нового покупателя (см. ниже) равно . Сам параметр тогда может быть интерпретирован как среднее число новых покупателей за единицу времени.

В этой статье для определённости будем предполагать, что плотность экспоненциальной случайной величины задана первым уравнением, и будем писать: .

Функция распределения Интегрируя плотность, получаем функцию экспоненциального распределения:

Моменты Несложным интегрированием находим, что производящая функция моментов для экспоненциального распределения имеет вид:

,

откуда получаем все моменты:

.

В частности,

, , .

Независимость событий Пусть . Тогда .

Пример. Пусть автобусы приходят на остановку случайно, но с некоторой фиксированной средней интенсивностью. Тогда количество времени, уже затраченное пассажиром на ожидание автобуса, не влияет на время, которое ему ещё придётся прождать.

Связь с другими распределениями Экспоненциальное распределение является распределением Пирсона типа X. Минимум независимых экспоненциальных случайных величин также экспоненциальная случайная величина. Пусть независимые случайные величины, и . Тогда:

Экспоненциальное распределение является частным случаем гамма-распределения:

Сумма независимых одинаково распределённых экспоненциальных случайных величин имеет гамма-распределение. Пусть независимые случайные величины, и . Тогда:

Экспоненциальное распределение может быть получено из непрерывного равномерного распределения методом обратного преобразования. Пусть . Тогда:

Экспоненциальное распределение с параметром  — это частный случай распределения хи-квадрат:

Экспоненциальное распределение является частным случаем распределения Вейбулла. Пусть независимые случайные величины, и и . Тогда:

Примечания

Литература

Лемешко Б. Ю., Блинов П. Ю. Критерии проверки отклонения от экспоненциального закона. Руководство по применению : монография. – Москва : ИНФРА-М, 2021. – 352 с. – (Научная мысль). –DOI 10.12737/1097477 https://znanium.ru/read?id=367267

Категория:Непрерывные распределения