А́лгебра Кэ́ли — система гиперкомплексных чисел, 8-мерная алгебра над полем вещественных чисел. Обычно обозначается , поскольку её элементы (числа Кэли) называются иногда октонионами или октавами.
Впервые рассмотрена в 1843 году , приятелем Уильяма Гамильтона, а двумя годами позже — независимо Артуром Кэли.
Число Кэли — это линейная комбинация элементов , то есть октава может быть записана в форме:
с вещественными коэффициентами . Октонионы находят применение в физике, в частности, в специальной теории относительности и теории струнIan Stewart: The Missing Link . Ссылка недоступна по состоянию на 6 ноября 2010. Статья The missing link на yahoo.com, русский перевод на scientific.ru..
Таблицы умножения Таблица умножения элементов октавы: 1 i (e1) j (e2) k (e3) l (e4) il (e5) jl (e6) kl (e7) i (e1) −1 k −j il −l −kl jl j (e2) −k −1 i jl kl −l −il k (e3) j −i −1 kl −jl il −l l (e4) −il −jl −kl −1 i j k il (e5) l −kl jl −i −1 −k j jl (e6) kl l −il −j k −1 −i kl (e7) −jl il l −k −j i −1
Таблица (Кэли) умножения октонионовАнтисимметрия по диагонали для −1:
Иногда заменяются буквенным обозначением:
Свойства По теореме Фробениуса алгебра Кэли является единственной 8-мерной вещественной альтернативной алгеброй без делителей нуля.
Алгебра Кэли является алгеброй с однозначным делением и с единицей, альтернативной, но неассоциативной и некоммутативной.
Для октониона операция сопряжения определена равенством: . Сопряжение удовлетворяет равенствам: и
Вещественная часть октониона определена равенством: , мнимая часть: .
Норма октониона : ; тогда и только тогда, когда . Из определения нормы следует, что октонион обратим и .
Из-за неассоциативности октонионы не имеют матричных представлений.
Примечания
Литература Джон Баэс. Октонионы // Гиперкомплексные числа в геометрии и физике, № 1(5), Vol 3(2006), с.120-176.
Категория:Теория колец Категория:Гиперкомплексные числа Категория:Неассоциативные алгебры