Центра́льные преде́льные теоре́мы (ЦПТ) — класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы (ни одно из слагаемых не доминирует, не вносит в сумму определяющего вклада), имеет распределение, близкое к нормальному.
Так как многие случайные величины в приложениях формируются под влиянием нескольких слабо зависимых случайных факторов, их распределение считают нормальным. При этом должно соблюдаться условие, что ни один из факторов не является доминирующим. Центральные предельные теоремы в этих случаях обосновывают применение нормального распределения.
Классическая ЦПТ Пусть есть последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, имеющих конечные математическое ожидание и дисперсию . Пусть также . Тогда по распределению при , где — нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением, равным единице. Определяя выборочное среднее первых величин как , можно переписать результат центральной предельной теоремы в следующем виде (ЦПТ в форме Леви): по распределению при . Скорость сходимости можно оценить с помощью неравенства Берри — Эссеена.
Замечания Неформально говоря, классическая центральная предельная теорема утверждает, что сумма независимых одинаково распределённых случайных величин имеет распределение, близкое к . Эквивалентно, имеет распределение близкое к . Так как функция распределения стандартного нормального распределения непрерывна, сходимость к этому распределению эквивалентна поточечной сходимости функций распределения к функции распределения стандартного нормального распределения. Положив , получаем , где — функция распределения стандартного нормального распределения. Центральная предельная теорема в классической формулировке доказывается методом характеристических функций (теорема Леви о непрерывности). Вообще говоря, из сходимости функций распределения не вытекает сходимость плотностей. Тем не менее в данном классическом случае это имеет место.
Локальная ЦПТ В предположениях классической формулировки, допустим в дополнение, что распределение случайных величин абсолютно непрерывно, то есть оно имеет плотность. Тогда распределение также абсолютно непрерывно, и более того, при , где — плотность случайной величины , а в правой части стоит плотность стандартного нормального распределения.
Обобщения Результат классической центральной предельной теоремы справедлив для ситуаций гораздо более общих, чем полная независимость и одинаковая распределённость.
ЦПТ Линдеберга Пусть независимые случайные величины определены на одном и том же вероятностном пространстве и имеют конечные математические ожидания и дисперсии: .
Пусть .
Тогда .
И пусть выполняется условие Линдеберга:
где функция — индикатор.
Тогда по распределению при .
ЦПТ Ляпунова Пусть выполнены базовые предположения ЦПТ Линдеберга. Пусть случайные величины имеют конечный третий момент. Тогда определена последовательность .
Если предел (условие Ляпунова), то по распределению при .
ЦПТ для мартингалов Пусть процесс является мартингалом с ограниченными приращениями. В частности, допустим, что
и приращения равномерно ограничены, то есть п.н. Введём случайные процессы и следующим образом:
и . Тогда по распределению при .
ЦПТ для случайных векторов Пусть последовательность независимых и одинаково распределённых случайных векторов, каждый из которых имеет среднее и невырожденную матрицу ковариаций . Обозначим через вектор частичных сумм. Тогда при имеет место слабая сходимость распределений векторов
, где имеет распределение .
См. также Закон больших чисел Закон повторного логарифма
Примечания
Ссылки Предельные теоремы теории вероятностей. Примеры использования
Категория:Теория вероятностей Ц