Гиперболи́ческие фу́нкции — семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями.
Определение
Гиперболические функции задаются следующими формулами:
гиперболический синус:
(в англоязычной литературе обозначается )
гиперболический косинус:
(в англоязычной литературе обозначается )
гиперболический тангенс:
(в англоязычной литературе обозначается )
гиперболический котангенс:
(в англоязычной литературе обозначается )
гиперболический секанс:
Гиперболический секанс иногда также обозначается как .
гиперболический косеканс:
Геометрическое определение
Ввиду соотношения гиперболические функции дают параметрическое представление гиперболы (, ). При этом аргумент , где — площадь криволинейного треугольника , взятая со знаком «+», если сектор лежит выше оси , и «−» в противоположном случае. Очевидно, что и гиперболические функции определяются через этот параметр, например, уравнения гиперболического синуса в параметрической форме: , где — ордината точки гиперболы, соответствующей вершине криволинейного треугольника площадью . Это определение аналогично определению тригонометрических функций через единичную окружность, которое тоже можно построить подобным образом.
Свойства
Связь с тригонометрическими функциями Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции от мнимого аргумента.
.
.
Функция Гудермана связывает тригонометрические функции и гиперболические функции без привлечения комплексных чисел.
Важные соотношения
Чётность/нечётность:
Формулы сложения:
Формулы двойного аргумента:
Формулы кратных аргументов:
Произведения:
Суммы:
Формулы понижения степени:
Разложение на множители:
Производные: Функция Производная Примечание Интегралы: См. также: Список интегралов от гиперболических функций, Список интегралов от обратных гиперболических функций
Представление через гиперболический тангенс половинного угла:
Неравенства Для всех выполняется:
Разложение в степенные ряды
(Ряд Лорана)
Здесь — числа Бернулли, — числа Эйлера.
Графики
Аналитические свойства Гиперболический синус и гиперболический косинус аналитичны во всей комплексной плоскости, за исключением существенно особой точки на бесконечности. Гиперболический тангенс аналитичен везде, кроме полюсов в точках , где — целое. Вычеты во всех этих полюсах равны единице. Гиперболический котангенс аналитичен везде, кроме точек , вычеты его в этих полюсах также равны единице.
Обратные гиперболические функции
Иначе называются ареа-функциями: к названиям соответствующих гиперболических функций добавляется префикс «ареа-» — от — «площадь». Главные значения ареа-функций определяются следующими выражениями. — обратный гиперболический синус, ареа-синус. — обратный гиперболический косинус, ареа-косинус. — обратный гиперболический тангенс, ареа-тангенс. — обратный гиперболический котангенс, ареа-котангенс. — обратный гиперболический секанс, ареа-секанс. Заметим, что решение также удовлетворяет уравнению , однако главные значения ареа-функций являются однозначными функциями. — обратный гиперболический косеканс, ареа-косеканс.
Графики
Связь между некоторыми обратными гиперболическими и обратными тригонометрическими функциями:
где i — мнимая единица.
Эти функции имеют следующее разложение в ряд:
В зарубежной литературе обратные гиперболические функции часто обозначают посредством знака минус первой степени: например, пишут как (причём обозначает другую функцию — ), и т. д.
История Первое появление гиперболических функций историки обнаружили в трудах английского математика Абрахама де Муавра (1707, 1722). Современное определение и обстоятельное их исследование выполнил Винченцо Риккати в 1757 году («Opusculorum», том I), он же предложил их обозначения: , . Риккати исходил из рассмотрения единичной гиперболы (см. рисунок в разделе #Определение).
Независимое открытие и дальнейшее исследование свойств гиперболических функций было проведено Иоганном Ламбертом (1768), который установил широкий параллелизм формул обычной и гиперболической тригонометрии. Н. И. Лобачевский впоследствии использовал этот параллелизм, пытаясь доказать непротиворечивость неевклидовой геометрии, в которой круговая тригонометрия заменяется на гиперболическую.
В обозначениях гиперболических функций утвердился некоторый разнобой. Например, в Энциклопедии Брокгауза и Эфрона используются обозначения , , в русскоязычной литературе закрепились обозначения , в англоязычной закрепились .
Применение Гиперболические функции часто встречаются при вычислении различных интегралов. Некоторые интегралы от рациональных функций и от функций, содержащих радикалы, довольно просто вычисляются с помощью замен переменных с использованием гиперболических функций.
Аналогично тому, как матрицы вида описывают повороты двумерного евклидова пространства, матрицы описывают повороты в простейшем двумерном пространстве Минковского. В связи с этим гиперболические функции часто встречаются в теории относительности.
Однородная бесконечно гибкая веревка или цепочка, свободно подвешенная за свои концы, приобретает форму графика функции (в связи с чем график гиперболического косинуса иногда называют цепной линией). Это обстоятельство используется при проектировании арок, поскольку форма арки в виде перевёрнутой цепной линии наиболее эффективно распределяет нагрузку.
Литература
Ссылки
GonioLab: Интерактивная демонстрация тригонометрических и гиперболических функций на Java Web Start БСЭ: Знаки математические Обратные тригонометрические и гиперболические функции (англ.)
Категория:Элементарные функции