След ма́трицы — сумма всех элементов главной диагонали квадратной матрицы, то есть если — элементы квадратной матрицы , то её след . Операция взятия следа отображает пространство квадратных матриц в поле, над которым определена матрица (для действительных матриц — в поле действительных чисел, для комплексных матриц — в поле комплексных чисел). Матрицы с нулевым следом называют бесследовыми (от англ. traceless или tracefree).
В математических текстах встречается два обозначения операции взятия следа: (от — след), и (от — след).
В тензорном исчислении следом тензора второго ранга называется сумма его диагональных элементов. Независимо от ковариантности и контравариантности компонент, след тензора второго ранга вычисляется как двойное скалярное произведение тензора с метрическим тензором и является первым инвариантом: .
Определение Под следом квадратной матрицы размера понимают:
где — элементы главной диагонали:
.
Свойства Линейность . . Следствие: след одинаков для всех подобных матриц: . , где означает операцию транспонирования. . Если — тензорное произведение матриц и , то . След матрицы равен сумме её собственных значений. Определитель квадратной матрицы можно выразить через следы степеней этой матрицы, не превосходящие . Например .
Геометрическое свойство , где — единичная матрица, — бесконечно малое число. То есть бесконечно малое линейное преобразование изменяет объём на величину, пропорциональную следу генератора этого преобразования в первом порядке по его малому параметру. Иными словами, скорость изменения объёма при таком преобразовании равна следу его генератора.
Следствия: для малых . Для того, чтобы преобразования не меняли объём, достаточно того, чтобы их генераторы были бесследовыми.
См. также След (теория полей)
Примечания
Ссылки
Категория:Матричные инварианты