Отрица́тельное биномиа́льное распределе́ние, также называемое распределением Паскаля — это распределение дискретной случайной величины, равной числу произошедших неудач в последовательности испытаний Бернулли с вероятностью успеха , проводимых до -го успеха.
Определение Пусть — последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть
Построим случайную величину следующим образом. Пусть — номер -го успеха в этой последовательности. Тогда . Более строго, положим . Тогда . Распределение случайной величины , определённой таким образом, называется отрицательным биномиальным. Пишут: .
Функции вероятности и распределения Функция вероятности случайной величины имеет вид: . Функция распределения кусочно-постоянна, и её значения в целых точках может быть выражено через неполную бета-функцию: .
Моменты Производящая функция моментов отрицательного биномиального распределения имеет вид: , откуда
Свойства Пусть , тогда
Частные случаи отрицательного биномиального распределения При r→∞ отрицательное биномиальное распределение становится распределением Пуассона Если параметр r - целое число, то отрицательное биномиальное распределение становится обобщенным распределением Бозе-Эйнштейна Schopper H. (Ed.) Electron - Positron Interactions. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. 1992. P. 133// https://www.twirpx.org/file/3458790/ . При r=1 отрицательное биномиальное распределение становится геометрическим распределением При r=1 получающееся геометрическое распределение является распределением Бозе-Эйнштейна для одного источника (a single source) .
Примечания
Категория:Дискретные распределения