Каса́тельная пряма́я — прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.
Строгое определение
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , и дифференцируема в ней: . Касательной прямой к графику функции в точке называется график линейной функции, задаваемый уравнением . Если функция имеет в точке бесконечную производную то касательной прямой в этой точке называется вертикальная прямая, задаваемая уравнением
Замечание
Прямо из определения следует, что график касательной прямой проходит через точку . Угол между касательной к кривой и осью Ох удовлетворяет уравнению
где обозначает тангенс, а — коэффициент наклона касательной. Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.
Касательная как предельное положение секущей
Пусть и Тогда прямая линия, проходящая через точки и задаётся уравнением
Эта прямая проходит через точку для любого и её угол наклона удовлетворяет уравнению
В силу существования производной функции в точке переходя к пределу при получаем, что существует предел
а в силу непрерывности арктангенса и предельный угол
Прямая, проходящая через точку и имеющая предельный угол наклона, удовлетворяющий задаётся уравнением касательной:
Касательная к окружности
Прямая, имеющая одну общую точку с окружностью и лежащая с ней в одной плоскости, называется касательной к окружности.
Свойства
Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания. Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. Длина отрезка касательной, проведённой к окружности единичного радиуса, взятого между точкой касания и точкой пересечения касательной с лучом, проведённым из центра окружности, является тангенсом угла между этим лучом и направлением от центра окружности на точку касания. «Тангенс» от — «касательная».
Вариации и обобщения
Односторонние полукасательные
Если существует правая производная то пра́вой полукаса́тельной к графику функции в точке называется луч
Если существует левая производная то ле́вой полукаса́тельной к графику функции в точке называется луч
Если существует бесконечная правая производная то правой полукасательной к графику функции в точке называется луч
Если существует бесконечная левая производная то левой полукасательной к графику функции в точке называется луч
См. также
Дифференцируемая функция Касательное пространство Нормаль, бинормаль Теорема о секущих
Литература
Категория:Дифференциальная геометрия кривых