Конечная разность — математический термин, широко применяющийся в методах вычисления при интерполировании и численном дифференцировании.
Определение
Пусть для некоторой точки задано узлов интерполяции с шагом и известны значения функции в этих узлах:
Тогда восходящей конечной разностью (или разностью вперёд) 1-го порядка называют разность между -м и -м значениями в узлах интерполяции, то есть
Нисходящей конечной разностью (или разностью назад) 1-го порядка называют разность между -м и -м значениями в узлах интерполяции, то есть
Центральной (или симметричной) конечной разностью 1-го порядка называют разность между -м и -м значениями в узлах интерполяции, то есть
Разности высших порядков Восходящей конечной разностью 2-го порядка называют разность между -ой и -ой конечными разностями 1-го порядка, то есть
Соответственно, восходящей конечной разностью порядка (для ) называют разность между -ой и -ой конечными разностями порядка , то есть
Аналогично определяются нисходящие и центральные разности высших порядков:
Через операторы Если ввести оператор смещения такой, что , то можно определить оператор восходящей конечной разности как . Для него справедливо соотношение , которое можно раскладывать по биному Ньютона. Данный способ представления заметно упрощает работу с конечными разностями высших порядков.
Общие формулы Часто также используется другое обозначение: — восходящая конечная разность порядка от функции c шагом , взятая в точке . Например, . Аналогично, для нисходящих разностей можно использовать обозначение , а для центральных — .
В этих обозначениях можно записать общие формулы для всех видов конечных разностей произвольного порядка с использованием биномиальных коэффициентов:
Общая формула для используется при построении интерполяционного многочлена Ньютона.
Пример
На приведённом изображении рассмотрен пример вычисления конечных разностей для
В зелёных клетках расположены значения , в каждой последующей строке приводятся конечные разности соответствующего порядка.
Связь с производными Производная функции в точке определяется с помощью предела:
Под знаком предела стоит восходящая конечная разность , делённая на шаг. Следовательно, эта дробь аппроксимирует производную при малых значениях шага. Погрешность приближения может быть получена с использованием формулы Тейлора:
Аналогичное соотношение выполняется для нисходящей разности:
Центральная разность даёт более точное приближение:
Конечные разности порядка , делённые на шаг, возведённый в степень , аппроксимируют производную порядка . Порядок погрешности приближения при этом не меняется:
Связанные понятия Видно, что конечная разность при фиксированном шаге есть линейный оператор, отображающий пространство непрерывных функций в себя. Обобщением понятия конечной разности является понятие разностного оператора.
С конечными разностями также связаны понятия разделённых разностей и модуля непрерывности.
Примечания
Литература
См. также Коэффициенты формул численного дифференцирования Линейная рекуррентная последовательность — решение наиболее простого типа разностного уравнения Метод конечных разностей Интерполяционные формулы Ньютона Разделенная разность Биномиальные преобразования
Категория:Вычислительная математика