Определитель Вандермонда — выражение вида
где — элементы некоторого поля. Матрицей Вандермонда называется либо матрица , либо её транспонированная версия . Матрица и её определитель названы в честь французского математика А. Т. Вандермонда.
Определитель Вандермонда равен нулю тогда и только тогда, когда существует хотя бы одна пара , для которой при .
Доказательство
Свойства Матрица Вандермонда представляет собой частный случай альтернативной матрицы, в которой .
Если — первообразный корень -й степени из единицы и — матрица Вандермонда с элементами , то обратная матрица с точностью до диагональной матрицы имеет вид : .
Применение Определитель Вандермонда имеет многочисленные применения в разных областях математики. Например, при решении задачи интерполяции многочленами, то есть задачи о нахождении многочлена степени , график которого проходит через заданных точек плоскости с абсциссами , определитель Вандермонда возникает как определитель системы линейных уравнений, из которой находятся неизвестные коэффициенты искомого многочлена.
Быстрое умножение вектора на матрицу Вандермонда Быстрое умножение вектора на матрицу Вандермонда эквивалентно нахождению значений многочлена и может быть вычислено за операций, где — затраты на умножения двух полиномов. Метод быстрого нахождения значений многочлена основывается на том факте, что . С использованием алгоритма быстрого умножения многочленов, такого как метод умножения Шёнхаге — Штрассена, и с применением парадигмы «разделяй и властвуй» за умножений многочленов (и операций по модулю многочленов) строится дерево, листьями которого будут многочлены (значения) , а корнем дерева будет многочлен .
Примечания
Категория:Определители Категория:Численные методы линейной алгебры