Многочлены Якоби (или полиномы Якоби) — класс ортогональных полиномов. Названы в честь Карла Густава Якоба Якоби.
Определение Происходят из гипергеометрических функций в тех случаях, когда последующие ряды конечныеAbramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), «Chapter 22» , Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, pp. 561, ISBN 978-0-486-61272-0, MR0167642:
где является символом Похгаммера (для растущего факториала), и, таким образом, выводится выражение
Откуда одно из конечных значений следующее
Для целых
где — обычная гамма-функция, и
Эти полиномы удовлетворяют условию ортогональности
для и .
Существует отношение симметрии для полиномов Якоби.
а потому ещё одно значение полиномов:
Для действительного полином Якоби может быть записан следующим образом.
где и .
В особом случае, когда , , и — неотрицательные целые, полином Якоби может принимать следующий вид
Сумма берется по всем целым значениям , для которых множители являются неотъемлемыми.
Эта формула позволяет выразить d-матрицу Вигнера () в терминах полиномов Якоби , где Величина определяется формулой
Производные -я производная явного выражения приводит к
Примечания
Литература . .
Категория:Ортогональные многочлены