В математике вычислимое (или рекурсивное) число — это число, которое может быть вычислено с любой заданной точностью с помощью алгоритма (для комплексных чисел должны быть вычислимы и действительная, и мнимая части).
Число, не являющееся вычислимым, называется невычислимым (примером невычислимого числа является константа Хайтина в проблеме остановки).
Любое алгебраическое число (а значит, любое рациональное и тем более любое целое число) является вычислимым. Любой элемент кольца периодов (что включает в себя число π и многие другие трансцендентные числа) является вычислимым. Любое вычислимое число является арифметическим.
Множество всех вычислимых чисел является счётным множеством, а множество всех невычислимых чисел — несчётным. Множество всех вычислимых чисел (равно как и множество всех невычислимых чисел) плотно в и в
Порядок на множестве вычислимых действительных чисел изоморфен порядку на множестве рациональных чисел.
Определение Вещественное число называется вычислимымБиркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. — М., Мир, 1976. — с. 375, 376., если существует алгоритм, который позволяет для каждого вычислить за конечное число шагов двоичную дробь , такую, что .
Свойства Сумма, разность и произведение вычислимых чисел являются вычислимыми. Предел вычислимой последовательности рациональных чисел не обязательно является вычислимым числом (но всегда является ) Существует взаимно однозначное соответствие между вычислимыми подмножествами и вычислимыми вещественными числами .
См. также Алгоритмическая разрешимость
Примечания
Категория:Числа Категория:Математическая логика Категория:Теория алгоритмов