Гипоэллиптический оператор — дифференциальный оператор в частных производных, фундаментальное решение которого принадлежит классу во всех точках пространства, за исключением начала координат.
Определение Пусть — вещественный полином от переменных
где и .
Определим соответствующий дифференциальный оператор:
где
Обобщенная функция называется фундаментальным решением дифференциального оператора , если она является решением уравнения где — дельта-функция Дирака. Оператор называется гипоэллиптическим, если принадлежит классу при всех .
Свойства Следующий критерий гипоэллиптичности часто используется в качестве определения гипоэллиптического оператора:
Теорема 1. Оператор является гипоэллиптическим, тогда и только тогда, когда для любой открытой области всякое решение (обобщенная функция) уравнения
с любой правой частью также принадлежит классу
Также имеет место следующий алгебраический критерий гипоэллиптичности, установленный Хёрмандером:
Теорема 2. Оператор является гипоэллиптическим, тогда и только тогда, когда
для всех где — мнимая единица.
Примеры Любой эллиптический оператор является гипоэллиптическим, например, оператор Лапласа. Оператор теплопроводности является гипоэллиптическим, но не эллиптическим. Оператор Д’Аламбера не является гипоэллиптическим.
Примечания
Литература
Категория:Дифференциальные уравнения в частных производных Категория:Дифференциальные операторы