Функция Хаара — кусочно-постоянная функция. Определяется на интервале . Последовательность функций Хаара образует ортогональную систему. Впервые была построена Альфредом ХааромHaar A. Zur Theorie der orthogonalen Functionsysteme, Dissertation (Gottingen, 1909); Math. Ann., 69 (1910), 331—371, 71 (1912) , 33-53. Любую функцию, интегрируемую по Лебегу на интервале , можно разложить в ряд по функциям Хаара, аналогичный разложению в ряд Фурье: .
Определение
Две первые функции Хаара определены так:
Другие функции Хаара определены для всех натуральных :
Здесь: .
Свойства Совокупность функций Хаара является ортнормированной системой. Для функции, интегрируемой по Лебегу, разложение Хаара сходится к этой функции почти всюду. Разложение Хаара для функции сходится к этой функции в каждой точке непрерывности этой функции и равномерно сходится на каждом интервале, на котором функция равномерно непрерывна.
Примечания
Литература
Категория:Математический анализ Категория:Дискретные преобразования Категория:Кусочно-линейные функции