В математике, в частности в комбинаторике, полиномы Белла — это полиномы вида
где сумма берётся по всем последовательностям j1, j2, j3, ..., jn−k+1 неотрицательных целых чисел таким, что и
Полиномы Белла названы так в честь математика Э. Белла.
Полные полиномы Белла Сумма
иногда называется n-м полным полиномом Белла. Для отличия от полных полиномов Белла, полиномы Bn, k, определённые выше, иногда называют «частичными» полиномами Белла.
Полные полиномы Белла удовлетворяют следующим условиям:
Комбинаторная интерпретация Если в разбиении числа n слагаемое 1 появляется j1 раз, 2 появляется j2 раза, и т.д., то количество разбиений множества мощности n, в котором мощности частей образуют это разбиение числа n, равно соответствующему коэффициенту полинома Белла.
Примеры Для n = 6, k = 2 мы имеем
потому что есть 6 способов разбить множество мощности 6 на подмножества мощностей 5 + 1, 15 способов разбить множество мощности 6 на подмножества мощностей 4 + 2, 10 способов разбить множество мощности 6 на подножества мощностей 3 + 3.
Аналогично,
потому что есть 15 способов разбить множество мощности 6 на подмножества мощностей 4 + 1 + 1, 60 способов разбить множество мощности 6 на подмножества мощностей 3 + 2 + 1, and 15 способов разбить множество мощности 6 на подмножества мощностей 2 + 2 + 2.
Свойства
Связь с числами Стирлинга и Белла Значение полинома Белла Bn,k(x1, x2, …), где все xi равны 1 является числом Стирлинга второго рода:
Сумма
есть n-е число Белла (количество разбиений множества мощности n).
Тождество свертки Для последовательности xn, yn, n = 1, 2, …, определёна свёртка:
(Заметим, что пределы суммирования здесь 1 и n − 1, а не 0 и n.)
Положим, что есть n-й член последовательности
Тогда
Для примера вычислим . Так как
то
Применения
Формула Фаа-ди-Бруно
Формула Фаа-ди-Бруно может быть сформулирована в терминах полиномов Белла следующим образом:
Кроме того, мы можем использовать полиномы Белла, если и то
В частности, полные полиномы Белла появляются в разложении экспоненты формального степенного ряда
Моменты и кумулянты Сумма
есть n-й момент распределения вероятностей, первые n кумулянтов которых равны κ1, …, κn. Другими словами, n-й момент равен значению n-го полного полинома Белла на первых n кумулянтах.
Представление полиномиальных последовательностей биномиального типа Для заданной последовательности чисел a1, a2, a3, … положим
Тогда эта последовательность полиномов имеет биномиальный тип, т.е. она удовлетворяет биномиальным условиям для n ≥ 0.
Теорема: Все полиномиальные последовательности биномиального типа представляются в таком виде.
Eсли мы рассмотрим
как формальный степенной ряд, то для всех n,
Программное обеспечение Полиномы Белла, полные полиномы Белла и обобщённые полиномы Белла реализованы в Mathematica как BellY .
Источники
(contains also elementary review of the concept Bell-polynomials) '' Kruchinin, V.V., 2011 , Derivation of Bell Polynomials of the Second Kind ''(ArXiv) Конспект лекции по полиномам Белла, примеры
*