Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Например, если функция от x даёт y, то обратная ей функция от y даёт x. Обратная функция функции обычно обозначается , иногда также используется обозначение .
Функция, имеющая обратную, называется обратимой.
Определение
Функция называется обратной к функции , если выполнены следующие тождества: для всех для всех
Связанные определения Функция называется левой обратной к функции , если для всех . Функция называется правой обратной к функции , если для всех .
Существование
Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение относительно . Если оно имеет более чем один корень, то функции, обратной к не существует. Таким образом, функция обратима на интервале тогда и только тогда, когда на этом интервале она взаимно-однозначна.
Для непрерывной функции выразить из уравнения возможно в том и только том случае, когда функция строго монотонна (см. теорема о неявной функции). Тем не менее, непрерывную функцию всегда можно обратить на промежутках её строгой монотонности. Например, является обратной функцией к на , хотя на промежутке обратная функция другая: .
Для существования обратной функции не являются необходимыми ни непрерывность, ни монотонность исходной функции. Пример: функция где — функция Дирихле, разрывна и не монотонна, однако обратная для неё существует:
Примеры Если , где то Если , где фиксированные постоянные и , то Если , то
Свойства
Областью определения является множество , а областью значений — множество . По построению имеем:
или , , или короче , , где означает композицию функций, а — тождественные отображения на и соответственно. Такое отображение , что («обратное справа»), называется сечением отображения . Функция является обратной к : . Пусть — биекция. Пусть её обратная функция. Тогда графики функций и симметричны относительно прямой . Также, если у функции есть обратная ей , то графики этих функций будут симметричны относительно линии . Теорема. Композиция любых двух обратимых функций является обратимой функцией, то есть . Доказательство Поскольку и для любой обратимой функции , где — тождественное преобразование, то можно записать следующие равенства. Имеем:
Подействуем слева функцией и получим: Теорема доказана. Это утверждение легко запомнить так: «Пиджак надевают после рубашки, а снимают раньше».
Разложение в степенной ряд
Обратная функция аналитической в некоторой окрестности точки функции может быть представлена в виде степенного ряда:
где функции задаются рекурсивной формулой:
См. также Теорема Лагранжа об обращении рядов Обратные тригонометрические функции Обратимая функция
Примечания
Категория:Общие понятия о функциях