Абелево многообразие — это проективное алгебраическое многообразие, являющееся алгебраической группой (это значит, что закон композиции задаётся регулярной функцией).
Абелевы многообразия являются хорошо изученными объектами в алгебраической геометрии. Это понятие используется в различных разделах алгебраической геометрии и теории чисел.
Абелево многообразие может быть определено уравнениями с коэффициентами в любом поле k. Говорят, многообразие над полем k. Исторически, сначала изучались абелевы многообразия над полем комплексных чисел.
Особым случаем являются абелевы многообразия над полями алгебраических чисел. Этот случай важен в теории чисел.
Свойства Можно доказатьШафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии, 1988, том 1, глава III, пар.4., что абелево многообразие коммутативно как группа, то есть является абелевой группой.
Для абелевых многообразий X, Y над полем комплексных чисел изоморфизм многообразий, при котором 1X переходит в 1Y, является групповым изоморфизмом.
Критерий того, что данный комплексный тор является абелевым многообразием, т.е. может ли быть вложен проективное пространство. Пусть V векторное пространство размерности и L является решёткой в V. Тор X = V / L является абелевым многообразием только в том случае, когда существует положительно определённая эрмитова форма на V, мнимая часть которой принимает целые значения на решётке L × L.
Теорема Шевалле об алгебраических группах: Любая алгебраическая группа G содержит нормальную подгруппу N, являющуюся аффинным многообразием, так что факторгруппа G/N является абелевым многообразием. (Подгруппа N с таким свойством единственна.)
Примеры В случае размерности 1, понятие абелева многообразия эквивалентно понятию эллиптической кривой.
При n > 1 абелево многообразие над полем комплексных чисел, как топологическое пространство, гомеоморфно n-мерному комплексному тору (рассматриваемому как проективное многообразие).
История
В начале девятнадцатого века, теория эллиптических функций явилась основой для теории эллиптических интегралов. Эллиптические интегралы имеют квадратные корни из многочленов 3-й и 4-й степени. Что будет в случае более высоких степеней? В работах Абеля и Якоби рассматривались функции двух комплексных переменных. Это явилось первым примером абелева многообразия размерности 2 (абелевой поверхности).
Примечания
Литература Мамфорд Д. Алгебраическая геометрия. Комплексные проективные многообразия. — : Мир, 1979. Мамфорд Д. Абелевы многообразия. — : 1971. Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии, 1988, том 1.
Категория:Алгебраическая геометрия Категория:Алгебраические группы Категория:Алгебраические многообразия