Среднее Колмогорова или среднее по Колмогорову для действительных чисел — это величина вида
где — непрерывная строго монотонная функция, а — функция, обратная к , причём аргументом этой обратной функции является средняя сумма в скобках.
Примеры При выборе определённых функций среднее Колмогорова даёт различные классические средние: при — среднее арифметическое; при — среднее гармоническое; при — среднее квадратическое; при — среднее степенное. при или — среднее геометрическое.
Свойства В 1930 году А. Н. Колмогоров показал, что любая средняя величина имеет вид , если она обладает свойствами: непрерывности, монотонности по каждому , симметричности (среднее не меняется при перестановке аргументов), среднее от набора равных чисел равно их значению, замена значений всех чисел любой подгруппы в наборе на значение среднего для этой подгруппы не меняет значение среднего всего набора.
Приложения Средние Колмогорова используют в прикладной статистике и эконометрике. В соответствии с теорией измерений, для усреднения данных, измеренных в шкале интервалов, из всех средних Колмогорова можно использовать только среднее арифметическое, а для усреднения данных, измеренных в шкале отношений, из всех средних Колмогорова можно использовать только степенные средние и среднее геометрическое.
Обобщения Для непрерывно распределённой величины среднее Колмогорова на отрезке :
См. также Прикладная статистика Эконометрика
Литература
Категория:Математический анализ Категория:Функции Категория:Теория вероятностей Колмогорова